1.2.1.2 三角函数线

时间:2019-9-9 19:05:01   作者:数学名师王老师
1.了解三角函数线的定义和意义.
2.会用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切.
3.掌握三角函数线的简单应用.
知识点
  • 三角函数线

    (1)有向线段:带有方向的线段叫做有向线段.

    (2)定义:如图,设单位圆与x轴的正半轴交于点A,与角α的终边交于点P(角α的顶点与原点重合,角α的始边与x轴的非负半轴重合).

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    过点P作x轴的垂线PM,垂足为M,过点A作单位圆的切线交OP的延长线(或反向延长线)于点T,这样就有sin α=MP,cos α=OM,tan α=AT.单位圆中的有向线段MP,OM,AT分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线,统称为三角函数线.

    名师点拨

    1.三角函数线的位置:在三条有向线段中,正弦线和余弦线在单位圆内,正切线在单位圆外.

    2.三角函数线的方向:正弦线由垂足指向α的终边与单位圆的交点;余弦线由原点指向垂足;正切线由切点指向切线与α的终边(或反向延长线)的交点.

    3.三角函数线的正负:三条有向线段凡与x轴的正方向或y轴的正方向同向的为正值,与x轴的正方向或y轴的正方向反向的为负值.

    4.三角函数线的书写:有向线段的起点字母在前,终点字母在后.

    5.三角函数线的意义:三角函数线的方向表示三角函数值的符号;三角函数线的长度等于所表示的三角函数值的绝对值.

    【做一做1】 如图,P是角α的终边与单位圆的交点,PM⊥x轴于M,AT和A'T'均是单位圆的切线,则角α的(  )

    A.正弦线是PM,正切线是A'T'

    B.正弦线是MP,正切线是A'T'

    C.正弦线是MP,正切线是AT

    D.正弦线是PM,正切线是AT

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    【做一做2】 不论角α的终边位置如何,在单位圆中作三角函数线时,下列说法正确的是(  )

    A.总能分别作出正弦线、余弦线、正切线

    B.总能分别作出正弦线、余弦线、正切线,但可能不只一条

    C.正弦线、余弦线、正切线都可能不存在

    D.正弦线、余弦线总存在,但正切线不一定存在

重难点
  • 三角函数线的应用

    剖析:三角函数线是三角函数值的直观表达形式,从三角函数线的方向可以看出三角函数值的符号,从三角函数线的长度可以看出三角函数值的绝对值的大小.三角函数线的主要作用是解三角方程和不等式、证明三角不等式、求函数的定义域及其比较大小,同时它也是以后画三角函数图象的基础.

例题解析
  • 题型一、解三角方程

    【例1】 在单位圆中画出满足$\sin \alpha=\frac{1}{2}$的角$α$的终边,并写出$α$组成的集合.

    分析:先作出直线$y=\frac{1}{2}$与单位圆的交点$P,Q$,再连接$OP,OQ$即得.

    反思

    形如$sin α=m,cos α=n,tan α=t$的等式,可借助三角函数线写出$α$组成的集合.其步骤是:(1)在单位圆中画出$α$的终边;(2)在$[0,2π)$内找出满足条件的角;(3)用终边相同的角的集合写出角.

    【变式训练1】 利用三角函数线,写出满足$\tan \alpha=-1$的角$α$的集合.

  • 题型二、解简单的三角不等式

    【例2】 解不等式$\sin \alpha \geq-\frac{1}{2}$

    反思

    解简单的三角不等式时,常借助于三角函数线,转化为求终边在某区域内的角的范围.

    【变式训练2】 已知$\cos \alpha \geq \frac{1}{2}$,试求出角α的集合.

  • 题型三、易错辨析

    易错点 错解函数的定义域

    【例3】 求函数$y=\sqrt{1+2 \cos x}+\lg (2 \sin x+\sqrt{3})$的定义域.

反思

解三角不等式组时,先解每个三角不等式,再取它们的交集.取交集时,要注意各自解集中$k$的独立性.

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