1.2.1.1 三角函数的定义

时间:2019-9-9 19:05:01   作者:数学名师王老师
1.掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义及其应用.
2.能判断任意角的三角函数值的符号.
3.掌握公式一及其应用.
知识点
  • 1.任意角的三角函数

    (1)单位圆:在直角坐标系中,称以原点为圆心,以单位长度为半径的圆为单位圆.

    (2)锐角的三角函数:如图,在$\mathrm{Rt} \triangle \mathrm{OAB}$中,∠OAB=90°,OA=a,AB=b,OB=r,

    设∠BOA=α,则有

    1557913898514513.png


    $\alpha$的三角函数

    定义

    正弦

    $\sin \alpha=\frac{A B}{O B}=\frac{b}{r}$

    余弦

    $\cos \alpha=\frac{\mathrm{O} \mathrm{A}}{\mathrm{O} \mathrm{B}}=\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{r}}$

    正切

    $\tan \alpha=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{O} \mathrm{A}}=\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{a}}$

    (3)任意角的正弦、余弦、正切:如图,α是任意角,以α的顶点O为坐标原点,以α的始边为x轴的非负半轴,建立平面直角坐标系.

     

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    设P(x,y)是α的终边与单位圆的交点,则有


    $\alpha$的三角函数

    定义

    记法

    形式

    正弦

    y

    $\sin \alpha$

    $\sin \alpha=y$

    余弦

    x

    $\cos \alpha$

    $\cos \alpha=x$

    正切

    $\frac{\mathrm{y}}{\mathrm{x}}(x \neq 0)$

    $\tan \alpha$

    $\tan \alpha=\frac{\mathrm{y}}{\mathrm{x}}(x \neq 0)$

    知识拓展

    利用角$\alpha$终边上任意一点的坐标定义三角函数如下:

    设$\alpha$是一个任意角,$\alpha$的终边上任意一点$P$(除原点外)的坐标是$(x, y)$,它与原点的距离是$r\left(r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right)$,那么:

    (1)比值$\frac{y}{r}$叫做$\alpha$的正弦,记作$\sin \alpha$,即$\sin \alpha=\frac{y}{r}$

    (2)比值$\frac{x}{r}$叫做$\alpha$的余弦,记作$\cos \alpha$,即$\cos \alpha=\frac{x}{r}$

    (3)比值$\frac{y}{x}$叫做$\alpha$的正切,记作$\tan \alpha$,即$\tan \alpha=\frac{y}{x}(x \neq 0)$

    (4)定义:当$\alpha=\frac{\pi}{2}+k \pi \quad(\mathrm{k} \in \mathbf{Z})$时,$\tan \alpha$无意义.除此之外,对于每一个确定的$\alpha$,都分别有唯一确定的正弦值、余弦值、正切值与之对应,所以这三个对应法则都是以角$\alpha$为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数,分别叫做正弦函数、余弦函数、正切函数,这三个函数统称为三角函数,分别记作$y=\sin a, y=\cos a, y=\tan a$.

    名师点拨

    由于角的集合与实数集之间建立了一一对应关系,三角函数可以看作是以实数为自变量的函数,其关系如下图.

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    (5)定义域如下表.

    三角函数

    解析式

    定义域

    正弦函数

    y=sin x

    R

    余弦函数

    y=cos x

    R

    正切函数

    y=tan x

    $\left\{x | x \neq k \pi+\frac{\pi}{2}, k \in \mathrm{Z}\right\}$

    【做一做1-1】 若角α终边上有一点P(0,3),则下列式子无意义的是(  )

    A.tan α         B.sin α

    C.cos α         D.sin αcos α

    解析:角α的终边在y轴的非负半轴上,则$\alpha=2 k \pi+\frac{\pi}{2}(k \in \mathbf{Z})$,所以tan α无意义.

    答案:A

    【做一做1-2】 若角α的终边与单位圆相交于点$\left(\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$,则$\sin \alpha$的值为(    )。

    A. $\frac{\sqrt{2}}{2}$          B.$-\frac{\sqrt{2}}{2}$

    C. $\frac{1}{2}$          D.-1

    解析:$x=\frac{\sqrt{2}}{2}, y=-\frac{\sqrt{2}}{2}$,则$\sin \alpha=y=-\frac{\sqrt{2}}{2}$. 

    答案:B

  • 2.三角函数值的符号

    sin α,cos α,tan α在各个象限的符号如下:

     1557980359830731.png

    归纳总结

    正弦函数、余弦函数和正切函数在各象限的符号可用以下口诀记忆:

    “一全正,二正弦,三正切,四余弦”.

    其含义是在第一象限各三角函数值全为正,在第二象限只有正弦值为正,在第三象限只有正切值为正,在第四象限只有余弦值为正.

    【做一做2】 已知α是第三象限角,设sin αcos α=m,则有 (  )

    A.m>0  B.m=0

    C.m < 0  D.m的符号不确定

    答案:A

  • 3.公式一(k∈Z)

    sin(α+2kπ)=sin α, 

    cos(α+2kπ)=cos α, 

    tan(α+2kπ)=tan α. 

    归纳总结

    该组公式说明:终边相同的角的同名三角函数值相等;给定一个角,它的三角函数值是唯一确定的(不存在者除外),相反,给定一个三角函数值,却有无数个角与之对应.

    【做一做3-1】 已知sin 5.1°=m,则sin 365.1°= (  )

    A.1+m  B.-m

    C.m  D.与m无关

    答案:C

    【做一做3-2】 已知α与β的终边相同,则下列关系式正确的是(  )

    A.sin α=-sin β  B.cos α=cos β

    C.tan αtan β=0  D.tan α=-tan β

    答案:B

重难点
  • 对任意角的三角函数的理解

    剖析:可以从以下几个方面来理解任意角的三角函数:

    (1)要明确sin α,cos α,tan α分别是一个整体,如sin α不是sin与α的乘积,它是“正弦函数”的一个记号,就如f(x)表示自变量为x的函数一样,离开自变量的“sin”“cos”“tan”是没有意义的.

    (2)三角函数值是比值,是一个实数,没有单位,这个实数的大小和点P(x,y)在终边上的位置无关,而仅由角α的终边位置所决定.对于确定的角α,其终边的位置也唯一确定了,就是说,三角函数值的大小仅与角有关,它是角的函数.

    (3)任意角三角函数的概念与锐角三角函数概念的实质是一样的,锐角三角函数是任意角的三角函数的特例,任意角的三角函数是锐角三角函数的推广.

例题解析
  • 题型一、三角函数值的计算

    【例1】 求 $\frac{2 \pi}{3}$ 的正弦、余弦和正切值.

    分析:根据定义,只需求出角 $\frac{2 \pi}{3}$ 的终边与单位圆的交点坐标即可

    【例2】 已知角$\alpha$的终边经过点$P(3,4)$,求$\sin \alpha, \cos \alpha, \tan \alpha$.  

    分析:分别写出x,y,r的值,应用定义求得.

    【例3】 已知角α的终边经过点$P(-4 a, 3 a)(a \neq 0)$,求$\sin \alpha, \cos \alpha, \tan \alpha$的值.

    分析:根据任意角的三角函数的定义,应先求出点P到原点的距离r,再求三角函数值.因为含有参数a,所以要分类讨论.

    反思

    求三角函数值往往用定义,而不必转化为求出角的终边与单位圆的交点坐标,因此只要知道角的终边上任意一点(非原点)的坐标即可.

    【变式训练1】 sin 135°=_______,cos 135°=_______,tan 135°=_______.

    【变式训练2】 已知角$\alpha$的终边在直线$y=\sqrt{3} x$上,求$\alpha$的三角函数值。

  • 题型二、判断已知角的三角函数值的符号

    【例4】 判断下列三角函数值的符号:

    (1)$\sin \left(-670^{\circ}\right) \cos 1230^{\circ}$;

    (2)$\sin 8 \cdot \cos 8$.

    分析:先判断相关角的终边所在的象限,再确定各三角函数值的符号,最后可判断积的符号.

    反思

    已知α的大小,判断sin α,cos α,tan α的符号的步骤:(1)确定α所在的象限;(2)由α所在的象限确定sin α,cos α,tan α的符号.

    【变式训练3】 确定下列式子的符号:

    (1)$\tan 125^{\circ} \cdot \sin 273^{\circ}$;

    (2)$\sin \frac{5 \pi}{4} \cdot \cos \frac{4 \pi}{5} \cdot \tan \frac{11 \pi}{6}$;

    (3)$\tan 191^{\circ}-\cos 191^{\circ}$.

  • 题型三、利用三角函数值的符号确定角所在象限

    【例5】 若$\sin \theta \tan \theta < 0$,则$\theta$是(  )

    A.第一或第二象限角  B.第一或第三象限角

    C.第一或第四象限角  D.第二或第三象限角

    反思

    已知sin α,cos α,tan α中任两个值的符号,确定α所在象限时,首先分别确定α的终边所在的可能位置,然后判断两者的交集,即为α的终边位置.

    【变式训练4】 若$\sin \alpha \cos \alpha < 0$,则$\alpha$的终边在(  )

    A.第一或第二象限  B.第一或第三象限

  • 题型四、公式一的简单运用

    【例6】 求下列三角函数值:

    (1)$\cos \left(-1050^{\circ}\right)$; (2) $\tan \frac{19 \pi}{3}$; (3)$\sin \left(-\frac{31 \pi}{4}\right)$

    分析:先利用公式一化简,再求值.

    反思

    对公式一的理解:

    实质

    终边相同的角的同名三角函数值相等

    结构

    特征

    1.公式左、右为同名三角函数;

    2.公式左边的角为$\alpha+k \cdot 2 \pi(k \in \mathbf{Z})$,右边的角为$\alpha$

    作用

    把求任意角的三角函数值转化为求$0-2 \pi$(或$0^{\circ} \sim 360^{\circ}$)之间的角的三角函数值。

    【变式训练5】 求下列各式的值:

     (1)$\cos \frac{25 \pi}{3}+\tan \left(-\frac{15 \pi}{4}\right)$; 

    (2)$\sin 810^{\circ}+\tan 765^{\circ}+\tan 1125^{\circ}+\cos 360^{\circ}$.

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