1.1.1 任意角

时间:2019-9-9 19:05:01   作者:数学名师王老师
1.了解任意角的概念,能区分各类角.
2.掌握象限角的概念,并会用集合表示象限角.
3.理解终边相同的角的含义及其表示,并能解决有关问题.
知识点
  • 1.角

    (1)定义:平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形称为角,射线的端点叫做角的顶点,起始位置的射线叫做角的始边,终止位置的射线叫做角的终边.如图.

    1557913703555634.png

    (2)分类:如下表.


    任意角

    定义

    正角

    时针方向旋转形成的角

    负角

    时针方向旋转形成的角

    零角

    一条射线没有作任何旋转形成的角


     

    (3)记法:为了简单起见,在不引起混淆的前提下,可用一个希腊字母表示,如$\alpha, \beta, \gamma$…;也可用3个大写的英文字母表示(字母前面要写“$\angle$”),其中中间字母表示角的顶点,如$\angle A O B, \angle D E F$,….

    名师点拨

    1.确定任意角的大小要明确其旋转方向和旋转量.

    2.零角的始边和终边重合,但始边和终边重合的角不一定是零角,如周角等.

    3.角的范围由0°~360°推广到任意角后,角的加减运算就类似于实数的加减运算.

    4.画图表示角时,应注意箭头的方向不可丢掉,箭头方向代表角的正负.

    【做一做1】 将射线OM绕端点O按逆时针方向旋转120°所得的角的大小为(  )

    A.120°  B.-120° 

    C.60°    D.240°

  • 2.象限角

    使角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合.那么,角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限角,即象限角的终边在第一、第二、第三或第四象限内,不与坐标轴重合.

    如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限.

    【做一做2】 -30°是(  )

    A.第一象限角  B.第二象限角

    C.第三象限角  D.第四象限角

  • 3.终边相同的角

    (1)研究终边相同的角的前提条件是角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合.

    (2)终边相同的角的集合:所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合$S=\left\{\beta | \beta=\underline{\alpha}+k \cdot 360^{\circ}, k \in \mathbf{Z}\right\}$,即任一与角$\alpha$终边相同的角,都可以表示成角$\alpha$与整数个周角的和.

    名师点拨

    理解集合$S=\left\{\beta | \beta=\alpha+k \cdot 360^{\circ} \quad, k \in \mathbf{Z}\right\}$,要注意以下几点:

    (1)式中角$\alpha$为任意角;

    (2)$k \in \mathbf{Z}$这一条件必不可少;

    (3)$k \cdot 360^{\circ}$与$\alpha$之间是“+”,如$k \cdot 360^{\circ}-30^{\circ}$应看成$k \cdot 360^{\circ}+\left(-30^{\circ}\right)$,即与$-30^{\circ}$角终边相同;

    (4)当$\alpha$与β的终边相同时,α-β=k?360°(k∈Z).反之亦然.

    【做一做3-1】 下列与95°角终边相同的角是(  )

    A.-5°  B.85° 

    C.395°  D.-265°

    【做一做3-2】 与210°角的终边相同的角连同210°角在内组成的角的集合是_______. 

重难点
  • 1.象限角与终边在坐标轴上的角的集合表示

    剖析:

    (1)象限角:


    象限角

    集合表示

    第一象限角

    $\left\{\alpha | k \cdot 360^{\circ}<\alpha < k \cdot 360^{\circ}+90^{\circ}, k \in \mathbf{Z}\right\}$

    第二象限角

    $\left\{\alpha | k \cdot 360^{\circ}+90^{\circ}< \alpha< k \cdot 360^{\circ}\right.$
    $+180^{\circ}, k \in \mathbf{Z} \}$

    第三象限角

    $\left\{\alpha | k \cdot 360^{\circ}+180^{\circ}< \alpha< k \cdot 360^{\circ}\right.$
    $270^{\circ}, k \in \mathbf{Z} \}$

    第四象限角

    $\left\{\alpha | k \cdot 360^{\circ}+270^{\circ}< \alpha< k \cdot 360^{\circ}\right.$
    $+360^{\circ}, k \in \mathbf{Z} \}$

    (2)终边在坐标轴上的角:


    角的终边的位置

    集合表示

    终边落在x轴的非负半轴上

    $\left\{\alpha | \alpha=k \cdot 360^{\circ}, k \in \mathbf{Z}\right\}$

    终边落在x轴的非正半轴上

    $\left\{\alpha | \alpha=k \cdot 360^{\circ}+180^{\circ}, k \in \mathbf{Z}\right\}$

    终边落在y轴的非负半轴上

    $\left\{\alpha | \alpha=k \cdot 360^{\circ}+90^{\circ}, k \in \mathbf{Z}\right\}$

    终边落在y轴的非正半轴上

    $\left\{\alpha | \alpha=k \cdot 360^{\circ}+270^{\circ}, k \in \mathbf{Z}\right\}$

     终边落在y轴上

    $\left\{\alpha | \alpha=k \cdot 180^{\circ}+90^{\circ}, k \in \mathbf{Z}\right\}$

    终边落在x轴上

    $\left\{\alpha | \alpha=k \cdot 180^{\circ}, k \in \mathbf{Z}\right\}$

    终边落在坐标轴上

    $\left\{\alpha | \alpha=k \cdot 90^{\circ}, k \in \mathbf{Z}\right\}$

  • 2.角$\alpha, \beta$的终边相同,$\alpha$与$\beta$不一定相等

    剖析因为角$\alpha, \beta$的终边相同,所以将角$\alpha$终边旋转(逆时针或顺时针)$k(k \in \mathbf{Z})$周可得角$\beta$,所以角$\alpha, \beta$的数量关系为$\beta=k \cdot 360^{\circ}+\alpha(k \in \mathbf{Z})$,即角$\alpha, \beta$的大小相差360°的$k(k \in \mathbf{Z})$倍,因此$\alpha$与$\beta$不一定相等.

  • 3.锐角、0°~90°的角、小于90°的角、第一象限的角的区别

    剖析:受初中所学角的影响,往往在解决问题时,考虑的角仅仅停留在锐角、直角、钝角上.将角扩展到任意角后,可用集合的观点来区别上述各类角.

    锐角的集合可表示为$\left\{\alpha | 0^{\circ}<\alpha < 90^{\circ}\right\}$;

    $0^{\circ} \sim 90^{\circ}$的角的集合可表示为$\left\{\alpha | 0^{\circ} \leq \alpha < 90^{\circ}\right\}$;

    小于$90^{\circ}$的角的集合可表示为$\left\{\alpha | \alpha < 90^{\circ}\right\}$,其中包括锐角和零角以及所有的负角;

    第一象限的角的集合可表示为$\left\{\alpha | k \cdot 360^{\circ}<\alpha < k \cdot 360^{\circ}+90^{\circ}, k \in \mathbf{Z}\right\}$,其中有正角,也有负角.

    名师点拨

    要正确区分易混的概念,如锐角一定是第一象限的角,而第一象限的角不全是锐角,如$-350^{\circ}, 730^{\circ}$都是第一象限角,但它们都不是锐角.

例题解析
  • 题型一、判断象限角

    【例1】 在0°~360°之间,求出一个与下列各角终边相同的角,并指出它们是第几象限角:

    (1)908°28';    (2)-734°.

    反思
    判断角α的终边所在位置的步骤:

    (1)当0°≤α < 360°时,依据下表来判断.


    $\alpha$的范围

    $\alpha$终边的位置

    $0^{\circ}$

    x轴非负半轴

    $0^{\circ}<\alpha < 90^{\circ}$

    第一象限

    $90^{\circ}$

    y轴非负半轴

    $90^{\circ}<\alpha < 180^{\circ}$

    第二象限

    $180^{\circ}$

    x轴非正半轴

    $180^{\circ}<\alpha < 270^{\circ}$

    第三象限

    $270^{\circ}$

    y轴非正半轴

    $270^{\circ}<\alpha < 360^{\circ}$

    第四象限

    【变式训练1】 -330°是第______象限角;1 065°是第______象限角. 

  • 题型二、终边相同的角的表示

    【例2】 若角$\alpha$的终边在函数$y=-x$的图象上,试写出角$\alpha$的集合.

    【变式训练2】 下列各角中,与-40°角终边相同的角是 (  )

    A.220°          B.-400°          C.300°        D.40°

    【变式训练3】 终边在直线$y=\sqrt{3} x$上的角的集合为________。

  • 题型三、区域角的表示

    【例3】 如图:

    1557913753268289.png

    (1)分别写出终边落在OA,OB位置上的角的集合;

    (2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合.

    反思

    区域角是指终边落在坐标系的某个区域的角,其写法可分三步: (1)先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界; (2)由小到大分别标出起始、终止边界对应的一个角α,β; (3)用不等式表示区域内的角,组成集合.

    【变式训练3】

    如图.

    1557913773313363.png

    (1)分别写出终边落在$OA,OB$位置上的角的集合;

    (2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合.

  • 题型四、易错辨析

    易错点 对任意角表示的平面区域判断不当而致错

    【例4】 已知α为第二象限角, 求$\frac{\alpha}{2}$的终边所在的象限。

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