1.1.2 弧度制

时间:2019-9-9 19:05:01   作者:数学名师王老师
1.了解弧度制,明确1弧度的含义.
2.能进行弧度与角度的互化.
3.掌握用弧度制表示扇形的弧长公式和面积公式.
知识点
  • 1.弧度制

    1557913843386531.png

    (1)定义:以弧度为单位度量角的单位制叫做弧度制.

    (2)度量方法:长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.如图,若圆$O$的半径为$r$ ,blob.png的长等于$r$,$\angle A O B$就是1弧度的角。

    名师点拨

    一定大小的圆心角α的弧度数是所对弧长与半径的比值,是唯一确定的,与半径大小无关.

    (3)记法:弧度单位用符号rad表示,或用“弧度”两个字表示.在用弧度制表示角时,单位通常省略不写.

    【做一做1】 下列表述中正确的是(  )

    A.1弧度是1度的圆心角所对的弧

    B.1弧度是长度为半径的弧

    C.1弧度是1度的弧与1度的角之和

    D.1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小,它是角的一种度量单位

  • 2.弧度数

    一般地,正角的弧度数是一个正数,负角的弧度数是一个负数,零角的弧度数是0.

    如果半径为$r$的圆的圆心角$\alpha$所对弧的长为$l$,那么,角$\alpha$的弧度数的绝对值是$|\alpha|=\frac{l}{r}$

    知识拓展

    1.弧长公式:$l=|\alpha| r |$.

    2.扇形面积公式:$S=\frac{1}{2} l r=\frac{1}{2}|\alpha| r 2$

    【做一做2】 已知半径为10 $\mathrm{cm}$的圆上,有一条弧的长是40 $\mathrm{cm}$,则该弧所对的圆心角的弧度数是______(圆心角的范围为$(0,2 \pi)$). 

  • 3.弧度制与角度制的换算

    (1)角度转化为弧度:$360^{\circ}=2 \pi \mathrm{rad}, 180^{\circ}=\pi \mathrm{rad}, 1^{\circ}=\frac{\pi}{180} \mathrm{rad} \approx 0.01745 \mathrm{rad}$.

    (2)弧度转化为角度:$2 \pi \mathrm{rad}=360^{\circ}, \pi \mathrm{rad}=180^{\circ}, 1 \mathrm{rad}=\left(\frac{180}{\pi}\right)^{\circ} \approx 57.30^{\circ}=57^{\circ} 18^{\prime}$

    (3)特殊角的弧度数与角度数对应表:

    角度

    $0^{\circ}$

    $15^{\circ}$

    $30^{\circ}$

    $45^{\circ}$

    $60^{\circ}$

    $75^{\circ}$

    $90^{\circ}$

    $120^{\circ}$

    $135^{\circ}$

    $150^{\circ}$

    弧度

    0

    $\frac{\pi}{12}$

    $\frac{\pi}{6}$

    $\frac{\pi}{4}$

    $\frac{\pi}{3}$$\frac{5 \pi}{12}$

    $\frac{\pi}{2}$

    $\frac{2 \pi}{3}$

    $\frac{3 \pi}{4}$

    $\frac{5 \pi}{6}$

    角度

    $180^{\circ}$

    $210^{\circ}$

    $225^{\circ}$

    $240^{\circ}$

    $270^{\circ}$

    $300^{\circ}$

    $315^{\circ}$

    $330^{\circ}$

    $360^{\circ}$

     

    弧度

    $\pi$

    $\frac{7 \pi}{6}$

    $\frac{5 \pi}{4}$

    $\frac{4 \pi}{3}$

    $\frac{3 \pi}{2}$

    $\frac{5 \pi}{3}$

    $\frac{7 \pi}{4}$

    $\frac{11 \pi}{6}$

    2$\pi$

     

    (4)角的概念推广后,在弧度制下,角的集合与实数集R之间建立起一一对应的关系:每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应;反过来,每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应.

    【做一做3-1】 把$50^{\circ}$化为弧度为(  )

    A.50             B.$\frac{5 \pi}{18}$

    C.$\frac{18}{5 \pi}$              D.$\frac{9000}{\pi}$

    【做一做3-2】把$\frac{2 \pi}{5} \mathrm{rad}$化为度为(   )

    A.52°           B.36°             C.72°          D.90°

重难点
  • 1.用弧度制表示象限角与终边在坐标轴上的角

    剖析:(1)象限角的表示:


    $\alpha$终边所在象限

    集合

    第一象限

    $\left\{\mathrm{x} | 2 \mathrm{k} \pi<\alpha < 2 \mathrm{k} \pi+\frac{\pi}{2}, k \in \mathrm{Z}\right\}$

    第二象限

    $\left\{x | 2 k \pi+\frac{\pi}{2}<\alpha < 2 k \pi+\pi, k \in \mathrm{Z}\right\}$

    第三象限

    $\left\{x | 2 k \pi+\pi<\alpha < 2 k \pi+\frac{3 \pi}{2}, k \in \mathrm{Z}\right\}$

    第四象限

    $\left\{x | 2 k \pi+\frac{3 \pi}{2}<\alpha < 2 k \pi+2 \pi, k \in \mathrm{Z}\right\}$

    (2)终边在坐标轴上的角的表示:


    $\alpha$终边所在的坐标轴

    集合

    x轴非负半轴

    $\{\alpha | \alpha=2 \mathrm{k} \pi, \mathrm{k} \in \mathrm{Z}\}$

    x轴非正半轴

    $\{\alpha | \alpha=2 k \pi+\pi, k \in \mathrm{Z}\}$

    x

    $\{\alpha | \alpha=k \pi, k \in Z\}$

    y轴非负半轴

    $\left\{\alpha | \alpha=2 k \pi+\frac{\pi}{2}, k \in \mathrm{Z}\right\}$

    y轴非正半轴

    $\left\{\alpha | \alpha=2 k \pi-\frac{\pi}{2}, k \in \mathrm{Z}\right\}$

    y

    $\left\{\alpha | \alpha=k \pi+\frac{\pi}{2}, k \in \mathrm{Z}\right\}$

    坐标轴

    $\left\{\alpha | \alpha=\frac{k \pi}{2}, k \in \mathrm{Z}\right\}$

  • 2.弧度制与角度制的区别和联系

    剖析:主要从定义、意义、换算、写法等方面考虑.

    (1)从定义上,弧度制是以“弧度”为单位度量角的单位制,角度制是以“度”为单位度量角的单位制,因此弧度制和角度制一样,都是度量角的方法.

    (2)从意义上,1弧度是长度等于半径长的圆弧所对的圆心角(或该弧)的大小,而$1^{\circ}$是圆的周长的$\frac{1}{360}$所对的圆心角(或该弧)的大小;任意圆心角α的弧度数的绝对值$|\alpha|=\frac{l}{r}$,其中$l$是以角α作为圆心角时所对的弧长,$r$为圆的半径.

    (3)从换算上,$1 \mathrm{rad}=\left(\frac{180}{\pi}\right)^{\circ}, 1^{\circ}=\frac{\pi}{180} \mathrm{rad}$

    (4)从写法上,用弧度为单位表示角的大小时,“弧度”两字可以省略不写,这时弧度数在形式上虽是一个不名数,但我们应当把它理解为表示角的弧度数;如果以度为单位表示角,表示度的符号“°”就不能省去.

例题解析
  • 题型一、角度与弧度的互化

    【例1】 把下列角度化成弧度,弧度化成角度.

    (1)$310^{\circ}$    (2)$\frac{5 \pi}{12} \mathrm{rad}$

    反思

    $n^{\circ}=\frac{n \pi}{180} \mathrm{rad}, x \mathrm{rad}=\left(\frac{180}{\pi} x\right)^{\circ}$

    【变式训练1】 将下列角转化为另一种形式:

    (1)$\frac{3 \pi}{5}=$______度   (2)2 $\mathrm{rad} \approx$______度

    (3)$-67^{\circ} 30^{\prime}=$_______rad   (4)$252^{\circ}=$_______rad

  • 题型二、比较大小

    【例2】 利用计算器比较$\sin 1$和$\sin 1^{\circ}$的大小.

    反思

    使用计算器来比较sin α与sin β,cos α与cos β,tan α与tan β的大小时,要注意α与β的单位.

    【变式训练2】 $\sin 2$与$\cos 33^{\circ}$的大小关系为______. 

    【变式训练3】 (1)已知某扇形的圆心角为80°,半径为6 cm,则该圆心角对应的弧长为(  )

    A.480 $\mathrm{cm}$    B.240 $\mathrm{cm}$    C.$\frac{8 \pi}{3} \mathrm{cm}$    D.$\frac{4 \pi}{3} \mathrm{cm}$

    blob.png

    (2)如图,已知扇形AOB的圆心角为120°,半径长为6,求弓形ACB的面积.

  • 题型四、易错辨析

    易错点 角度与弧度混用致错

    【例4】 把角$-690^{\circ}$化为$2 k \pi+\alpha(0 \leq \alpha < 2 \pi, k \in \mathbf{Z})$的形式为________. 

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