1.3.1.2 柱体、锥体、台体的体积

时间:2019-9-9 19:05:01   作者:数学名师王老师
1.掌握柱体、锥体、台体的体积公式及其求法.
2.知道柱体、锥体、台体的体积公式之间的转化.
3.初步掌握体积在实际生活中的应用.
知识点
  • 1.柱体的体积

    (1)棱柱(圆柱)的高是指两个底面之间的距离,即从一底面上任意一点向另一个底面作垂线,这点与垂足(垂线与底面的交点)之间的距离.

    (2)柱体的底面面积为S,高为h,其体积$V=S h$.特别地,圆柱的底面半径为r,高为h,其体积$V=\pi r^{2} h$.

    【做一做1】 若五棱柱的底面面积为$\sqrt{3}$,高为$2\sqrt{3}$,则其体积等于______。

  • 2.锥体的体积

    (1)棱锥(圆锥)的高是指从顶点向底面作垂线,顶点与垂足(垂线与底面的交点)之间的距离.

    (2)锥体的底面面积为S,高为h,其体积$V=\frac{1}{3} S h$,特别地,圆锥的底面半径为r,高为h,其体积$V=\frac{1}{3} \pi r 2 h$

  • 3.台体的体积

    (1)圆台(棱台)的高是指两个底面之间的距离.

    (2)台体的上、下底面面积分别是S',S,高为h,其体积$V=\frac{1}{3}\left(S+\sqrt{S S^{\prime}}+S^{\prime}\right) h$,特别地,圆台的上、下底面半径分别为$r^{\prime}, r$,高为h,其体积$V=\frac{1}{3} \pi\left(r 2+r r^{\prime}+r^{\prime} 2\right) h$。

    【做一做3-1】 若圆台的上、下底面面积分别为2,4,高为3,则圆台的体积是(  )

    A.$18+6 \sqrt{2}$   B.$6+2 \sqrt{2}$   C.24   D.18

    【做一做3-2】 若圆台OO'的上、下底面半径分别为1和2,高为6,则其体积等于_______. 

重难点
  • 1.柱体、锥体、台体的体积公式对比

    剖析:如下表所示.

     

    柱体

    锥体

    台体

     图形

    1557905519950723.png

    1557905540625937.png


    1557905678806798.png


    体积

    V棱柱=Sh

    V圆柱=$\pi r^{2} h$

    V棱锥=$\frac{1}{3} S h$

    V圆锥=$\frac{1}{3} \pi r 2 h$

    V棱台=$\frac{1}{3}\left(S^{\prime}+\sqrt{\mathrm{SS}^{\prime}}+S\right) h$

    V圆台=$\frac{1}{3} \pi h\left(r^{\prime} 2+r 2+r r^{\prime}\right)$

    V台体=V大锥体-V小锥体 = $\frac{1}{3} S(h+x)-\frac{1}{3} S^{\prime} x$  = $\frac{1}{3}\left[S h+\left(S-S^{\prime}\right) x\right]$ 

    而$\frac{S^{\prime}}{S}=\frac{x^{2}}{(h+x)^{2}}$,所以$\sqrt{\frac{s}{S}}=\frac{x}{h+x}$。

    于是有$x=\frac{\sqrt{S}^{\prime} h}{\sqrt{S}-\sqrt{S^{\prime}}}$,代入①式得

    V台体=$\frac{1}{3} h\left[S+\left(S-S^{\prime}\right) \frac{\sqrt{S^{\prime}}}{\sqrt{S}-\sqrt{S^{\prime}}}\right]$

    =$\frac{1}{3} h\left(S+\sqrt{S S^{\prime}}+S^{\prime}\right)$。

例题解析
  • 题型一、求几何体的体积

    【例1】 如图,在长方体ABCD-A'B'C'D'中,截下一个棱锥C-A'DD',求棱锥C-A'DD'的体积与剩余部分的体积之比.

    1557905703106211.png

    【变式训练1】 在棱长为1的正方体中,分别用过共顶点的三条棱的中点的平面截该正方体,则截去8个三棱锥后,剩下的几何体的体积是(  )

    A.$\frac{2}{3}$   B.$\frac{6}{7}$   C.$\frac{4}{5}$   D.$\frac{5}{6}$

  • 题型二、与三视图有关的体积计算

    【例2】已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(  )

    1557905736620519.png

    A.$8-\frac{\pi}{4}$      B.$8-\frac{\pi}{2}$      C.$8-\pi$      D.$8-2 \pi$

    反思
    给出几何体的三视图,求该几何体的体积时,先根据三视图确定该几何体的结构特征,再利用公式求解.

    【变式训练2】 已知一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为_______. 

    1557905765364152.png

  • 题型三、实际应用题

    【例3】 如图是一个底面直径为20 cm的装有一部分水的圆柱形玻璃杯,水中放着一个底面直径为6 cm,高为20 cm的圆锥形铅锤(水面高过铅锤),当铅锤从水中取出后,杯里的水将下降多少厘米?

    1557905796386125.png

    反思
    解实际应用题的关键是找准题目中所含的等量关系.本题所含的等量关系是下降的水的体积等于取出的圆锥形铅锤的体积.明确其体积公式中的相关量是列出方程的关键.

    【变式训练3】 一块正方形薄铁皮的边长为4,以它的一个顶点为圆心,剪下一个最大的扇形,用这块扇形围成一个圆锥,则这个圆锥的体积等于_______. 

  • 题型四、易错辨析

    易错点:考虑问题不全面而致错

    【例4】 把长、宽分别为4,2的矩形卷成一个圆柱的侧面(连接处忽略不计),求这个圆柱的体积.

反思
利用展开图解决几何体中的相关运算问题是一类重要题型,由展开图求几何体的体积时,考虑问题一定要全面,避免漏解.

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