1.3.1.1 柱体、锥体、台体的表面积

时间:2019-9-9 19:05:01   作者:数学名师王老师
1.了解柱体、锥体、台体的侧面展开图,掌握柱体、锥体、台体的表面积的求法.
2.能运用公式求解柱体、锥体和台体的表面积,并了解柱体、锥体和台体表面积之间的关系.
3.初步掌握面积在实际生活中的应用.
知识点
  • 1.棱柱、棱锥、棱台

    棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体,计算它们的表面积就是计算它们的各个侧面面积和底面面积之和.
  • 2.圆柱的表面积

    (1)侧面展开图:圆柱的侧面展开图是一个矩形,其中一边是圆柱的母线,另一边等于圆柱的底面周长,如图所示.

    1557905117438436.png

    2)面积:圆柱的表面积S=S+2S.若圆柱的底面半径为r,母线长为l,则圆柱的侧面积S=2πrl,表面积S=2πr(r+l).

    【做一做1】 若圆柱OO'的底面半径r=2 cm,母线长l=3 cm,则圆柱OO'的表面积等于_____cm2. 

  • 3.圆锥的表面积

    (1)侧面展开图:圆锥的侧面展开图是一个扇形,扇形的半径是圆锥的母线,扇形的弧长等于圆锥的底面周长,如图所示.

    1557905142482311.png


    (2)面积:圆锥的表面积S=S+S.若圆锥的底面半径为r,母线长为l,则圆锥的侧面积S=πrl,表面积S=πr(l+r).

    【做一做2】 若圆锥的母线长为5,底面半径为3,则其侧面积等于(  )          

    A.15  B.15π  C.24π  D.30π

  • 4.圆台的表面积

    (1)侧面展开图:圆台的侧面展开图是一个扇环,其侧面积可由大扇形的面积减去小扇形的面积而得到,如图所示.

    1557905170546647.png

    (2)面积:圆台的表面积S=S+S上底+S下底.若圆台的上、下底面半径分别为r',r,母线长为l,则侧面积S=π(r+r')l,表面积S=$π(r^{2}+r'^{2}+rl+r'l)$.

    【做一做3】 若圆台的上、下底面半径分别是3和4,母线长为6,则其表面积等于(  )

    A.72  B.42π  C.67π  D.72π

重难点
  • 面积公式对比

    剖析:如下表所示.

     

    图形

    表面积公式

    多面体(以长方体为例)

    1557905204465900.png

    多面体(棱柱、棱锥、棱台)的表面积就是各个面的面积之和


     

    图形

    表面积公式




    1557905229413095.png

    底面积:S=$\pi r^{2}$

    侧面积:S=2$\pi r l$

    表面积:S=$S=2 \pi r(r+l)$



    1557905256614909.png

    底面积:S=$\pi r^{2}$

    侧面积:S=$\pi r l$

    表面积:$S=\pi r(r+l)$



    1557905294108668.png

    上底面面积:S上底=$\pi r^{\prime 2}$

    下底面面积:S下底=$\pi r^{2}$

    侧面积:S=$\pi r^{\prime} l+\pi r l$

    表面积:$S=\pi\left(r^{2}+r^{2}+r^{\prime} l+r l\right)$

例题解析
  • 题型一、求几何体的表面积

    【例1】 如图所示的几何体是一棱长为4 cm的正方体,若在其中一个面的中心位置上,挖一个直径为2 cm、深为1 cm的圆柱形的洞,求挖洞后几何体的表面积是多少?(π取3.14)

    1557905325507951.png

    反思

    求几何体的表面积时,通常先将所给几何体分成基本的柱体、锥体、台体,再通过这些基本的柱体、锥体、台体的表面积,进行求和或作差,从而获得几何体的表面积.

    【变式训练1】 若把轴截面是等边三角形的圆锥称作等边圆锥,则等边圆锥的侧面积是底面面积的(  )

    A.4倍  B.3倍  C.$\sqrt{2}$倍  D.2倍

  • 题型二、与三视图有关的面积计算

    【例2】已知一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的表面积为(  )

    1557905357186830.png

    A.72    B.66     C.60     D.30

    反思

    已知三视图求面积的步骤:(1)根据三视图明确几何体的结构特征;(2)明确三视图中各数据所反映的几何体的度量;(3)代入相应的面积公式进行计算.

    【变式训练2】已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积等于________. 

    1557905381812830.png

  • 题型三、实际应用问题

    【例3】 粉碎机的下料斗是正四棱台形(两个底面均是正方形,侧棱相等,侧面是全等的等腰梯形),如图所示,它的两个底面边长分别是80 mm和440 mm,侧棱长是300 mm.计算制造这个下料斗所需铁板的面积是多少?

    1557905409912487.png

    反思
    解决此类问题首先要分清是求几何体的表面积还是侧面积,其次将实物转化为空间图形,最后转化到平面图形进行处理..


    【变式训练3】


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    牧民居住的蒙古包的形状是一个圆柱与一个圆锥的组合体,尺寸如图所示,请你算出要搭建这样的一个蒙古包至少需要多少平方米的篷布?(精确到1 $m^{2}$)

  • 题型四、易错辨析

    易错点:三视图中线段的长度与几何体中线段的长度不对应而致错

    【例4】已知一个三棱柱的三视图如图所示,求这个三棱柱的侧面积.

    1557905462644947.png

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