1.2.1/2 中心投影与平行投影/空间几何体的三视图

时间:2019-9-9 19:05:01   作者:数学名师王老师
1.了解中心投影和平行投影.
2.能画出简单空间几何体(柱、锥、台、球及其组合体)的三视图.
3.能识别三视图所表示的立体图型.
知识点
  • 1.投影

    定义

    由于光的照射,在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子,这种现象叫做投影,其中,我们把光线叫做投影线,把留下物体影子的屏幕叫做投影面

    分类

    中心投影

    光由一点向外散射形成的投影,叫做中心投影.中心投影的投影线交于一点

    平行投影

    在一束平行光线照射下形成的投影,叫做平行投影.平行投影的投影线是平行的.在平行投影中,投影线正对着投影面时,叫做正投影,否则叫做斜投影

    归纳总结

    当图形中的直线或线段不平行于投影线时,平行投影具有下述性质:

    (1)直线或线段的平行投影仍是直线或线段.

    (2)平行直线的平行投影是平行或重合的直线.

    (3)平行于投影面的线段,它的投影与这条线段平行且等长.

    (4)与投影面平行的平面图形,它的投影与这个图形全等.

    【做一做1-1】 已知$\triangle$ABC,选定的投影面与$\triangle$ABC所在的平面平行,则经过中心投影后所得的三角形与$\triangle$ABC (  )

    A.全等  B.相似

    C.不相似  D.以上都不正确

    【做一做1-2】 一条直线在平面上的平行投影是(  )

    A.直线  B.点

    C.线段  D.直线或点

  • 2.三视图

    分类

    正视图

    光线从几何体的前面向后面正投影,得到投影图,这种投影图叫做几何体的正视图

    侧视图

    光线从几何体的左面向右面正投影,得到投影图,这种投影图叫做几何体的侧视图

    俯视图

    光线从几何体的上面向下面正投影,得到投影图,这种投影图叫做几何体的俯视图

    说明

    几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图

    特征

    一个几何体的侧视图和正视图高度一样,俯视图与正视图长度一样,侧视图与俯视图宽度一样.为了便于记忆,通常用口诀“长对正,高平齐,宽相等”

    【做一做2】 下列说法错误的是(  )

    A.正视图反映了物体上下、左右的位置关系,即反映了物体的高度和长度

    B.俯视图反映了物体左右、前后的位置关系,即反映了物体的长度和宽度

    C.侧视图反映了物体上下、前后的位置关系,即反映了物体的高度和宽度

    D.一个几何体的正视图和俯视图高度一样,正视图和侧视图长度一样,侧视图和俯视图宽度一样

重难点
  • 1.辨析平行投影和中心投影

    剖析:平行投影和中心投影都是投影,但二者又有区别:

    (1)中心投影的投影线交于一点,平行投影的投影线互相平行.

    (2)在平行投影中,与投影面平行的平面图形留下的影子,与这个平面图形的形状和大小完全相同;而中心投影则不同.

    (3)画实际效果图一般用中心投影法;画立体几何中的图形一般用平行投影法.

  • 2.旋转体的三视图

    剖析:旋转体是由某个平面图形绕着旋转轴旋转形成的,显然它是关于旋转轴对称的一类几何体.

    当旋转体的底面水平放置时(除球外),它的三视图比较简单,这时常见的三视图分别为:

    (1)圆柱的正视图和侧视图都是矩形,俯视图是圆;

    (2)圆锥的正视图和侧视图都是等腰三角形,俯视图是圆和圆心;

    (3)圆台的正视图和侧视图都是等腰梯形,俯视图是两个同心圆.


    球的正视图、侧视图和俯视图都是圆.

    显然,它们有共同的特征:①俯视图中肯定存在一个圆,还可能存在另外的圆或者点,但是不会出现其他的图形,因为它们是绕着轴旋转形成的.②它们的正视图和侧视图是相同的,都是这个几何体的轴截面.因为球比较特殊,它的轴截面也是圆,所以使得它的三个视图是完全相同的.

例题解析
  • 题型一、

    【例1】 如图,在正方体$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$中,E,F分别是$A A_{1}, C_{1} D_{1}$的中点,G是正方形$B C C_{1} B_{1}$的中心,则四边形AGFE在该正方体的各个面上的正投影可能是图中的________.(只填图号) 

    反思
    画出一个图形在一个平面上的投影的关键是找准图形中的关键点,如顶点等.先画出这些关键点的投影,再依次连接这些点即可得此图形在该平面上的投影.


  • 【变式训练1】

    1557904509352403.png

    在正方体ABCD -A'B'C'D'中,E,F分别是A'A,C'C的中点,则下列结论正确的是________.(只填序号) 

    ①四边形BFD'E在底面ABCD内的正投影是正方形;

    ②四边形BFD'E在侧面A'D'DA内的正投影是菱形;

    ③四边形BFD'E在侧面A'D'DA内的正投影与在侧面ABB'A'内的正投影是全等的平行四边形.

  • 题型二、画几何体的三视图

    【例2】 画出如图所示的几何体的三视图.

    1557904548901432.png

    反思

    画组合体的三视图的步骤:

    1557904579959299.png

    画几何体的三视图时,能看见的轮廓线和棱用实线表示,看不见的轮廓线和棱用虚线表示.

    【变式训练2】 画出如图所示的几何体的三视图.

    1557904613443747.png

  • 题型三、由三视图讨论几何体的结构特征

    【例3】 某几何体的三视图如图所示,试分析该几何体的结构特征.

    1557904817479496.png

    反思
    根据三视图想象空间几何体时,需要根据几何体的正视图、侧视图、俯视图的几何特征,想象整个几何体的结构特征,从而判断三视图所描述的几何体.通常是根据俯视图判断是多面体还是旋转体,再结合正视图和侧视图确定具体的几何结构特征,最后确定是简单几何体还是简单组合体.

    【变式训练3】 如图是一个物体的三视图,则此三视图所描述的物体可能是下图中的(  )

    1557904852949066.png

  • 题型四、易错辨析

    易错点:虚线漏画或画为实线而致错

    【例4】 画出如图所示的几何体的正视图和俯视图.

    1557904875872242.png

反思
在三种视图中,可见的线都画成实线,存在但不可见的线一定要画出,且要画成虚线;画三视图时,一定要分清可见的线与不可见的线,避免出现错误.

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