1.1.1.2 圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征

时间:2019-9-9 19:05:01   作者:数学名师王老师
1.了解圆柱、圆锥、圆台、球的定义,知道这四种几何体的结构特征,能够识别和区分这些几何体.
2.了解柱体、锥体、台体之间的关系.
知识点
  • 1.圆柱

    定义

    矩形的一边所在直线为旋转轴,其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱

    有关

    概念

    旋转轴叫做圆柱的;垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面;平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面;无论旋转到什么位置,不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线

    图形

    1557903714301396.png

    表示法

    用表示它的轴的字母,即表示两底面圆心的字母表示,上图中的圆柱可表示为圆柱O'O

    规定:圆柱和棱柱统称为柱体.

    归纳总结
    圆柱的简单性质:

    (1)圆柱有无数条母线,它们平行且相等.

    (2)平行于底面的截面是与底面大小相同的圆,如图①所示.

    (3)过轴的截面(轴截面)都是全等的矩形,如图②所示.

    (4)过任意两条母线的截面是矩形,如图③所示.

     1557903743723532.png

    【做一做1】 给出下列几种说法:①圆柱的底面都是圆;②连接圆柱上、下底面圆周上任意两点的线段是圆柱的母线;③矩形的任意一条边都可以作为轴,其他边绕其旋转围成圆柱.其中正确的个数为(  )

    A.0  B.1  C.2  D.3

  • 2.圆锥

    定义

    直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴,其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥

    图形

    1557903768608578.png

    有关概念

    如上图所示,轴为SO,底面为?O,SA、SB为母线.另外,S叫做圆锥的顶点,OA(或OB)叫做底面?O半径

    表示法

    圆锥用表示它的的字母表示,上图中的圆锥可表示为圆锥SO

    归纳总结
    圆锥的简单性质:

    (1)圆锥有无数条母线,它们有公共点即圆锥的顶点,且长度相等.

    (2)平行于底面的截面都是圆,如图①所示.

    (3)过轴的截面都是全等的等腰三角形,如图②所示.

    (4)过任意两条母线的截面是等腰三角形,如图③所示.

     1557903803729496.png

    【做一做2】 已知圆锥SO的母线长为5,底面直径为8,则圆锥SO的高h=______. 

  • 3.圆台

    定义

    用平行于圆锥底面的平面去截圆锥,底面截面之间的部分叫做圆台(圆台也可以看作是以直角梯形垂直于底边的腰为旋转轴,其余三边旋转形成的面所围成的旋转体)

    图形

    1557903829826231.png

    有关概念

    原圆锥的底面和截面分别叫做圆台的底面和底面.与圆柱和圆锥一样,圆台也有轴、侧面、母线,如上图所示,轴为O'O,A'A,B'B为母线

    表示法

    用表示轴的字母表示,上图中的圆台可表示为圆台O'O

    规定:棱台与圆台统称为台体.

    归纳总结
    圆台的简单性质:

    (1)圆台有无数条母线,且它们相等,延长后相交于一点.

    (2)平行于底面的截面是圆,如图①所示.

    (3)过轴的截面都是全等的等腰梯形,如图②所示.

    (4)过任意两条母线的截面是等腰梯形,如图③所示.

    1557903854551767.png

    【做一做3】 关于圆台,下列说法正确的是  .(只填序号) 

    ①两个底面平行且全等;

    ②圆台的母线有无数条;

    ③圆台的母线长大于高的长;

    ④两个底面圆心的连线是高.

  • 4.球

    定义

    以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体,简称球

    有关概念

    半圆的圆心叫做球的球心;半圆的半径叫做球的半径;半圆的直径叫做球的直径

    图形

    1557903880930486.png

    表示法

    球常用表示球心的字母表示,如上图中的球表示为球O

    知识拓展

    1.球面的定义:与定点的距离等于定长的所有点的集合(轨迹)叫做球面.

    2.如果点到球心的距离小于球的半径,那么这样的点在球的内部;如果点到球心的距离大于球的半径,那么这样的点在球的外部.

    【做一做4】 球的任意两条直径不具有的性质是(  )

    A.相交  B.平分

    C.垂直  D.都经过球心

重难点
  • 1.圆柱、圆锥、圆台之间的关系

    剖析:圆柱、圆锥、圆台的形状不同,它们之间既有区别又有联系,并且在一定条件下可以相互转化.当圆台的下底面保持不变,而上底面越来越大且接近于下底面时,圆台就越来越接近于圆柱,当上底面增大到与下底面相同时,圆台转化为圆柱;当圆台的上底面越来越小时,圆台就越来越接近于圆锥,当上底面收缩为一个点时,圆台就转化为圆锥了.

  • 2.圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征比较

    剖析:如下表所示.

    结构特征

    圆柱

    圆锥

    圆台

    底面

    形状

    两个底面是平行且半径相等的圆

    只有一个底面,且底面是圆

    两个底面是平行但半径不相等的圆

    侧面

    展开

    图形状

    矩形

    扇形

    扇环

    不可展开

    母线

    平行且相等

    相交于顶点

    延长线交于一点

    平行于底

    面的截面

    形状

    是与两个底面平行且半径相等的圆

    平行于底面且半径不相等的圆

    是与两个底面平行且半径不相等的圆

    球的任何截面形状都是圆

    轴截面

    形状

    矩形

    等腰三角形

    等腰梯形

例题解析
  • 题型一、判断旋转体的形状

    【例1】 一个有30°角的直角三角尺绕其各条边所在直线旋转360°所得的几何体是圆锥吗?如果以斜边上的高所在的直线为轴旋转180°能得到什么几何体?

    反思

    判断旋转体形状的步骤:(1)明确旋转轴l;(2)确定平面图形中各边(通常是线段)与l的位置关系;(3)依据圆柱、圆锥、圆台、球的定义和下列结论来确定形状(线段若与l相交,则线段的一个端点为交点):与l垂直且相交的线段绕l旋转一周得圆面;与l垂直且不相交的线段绕l旋转一周得圆环面;与l平行的线段绕l旋转一周得圆柱侧面;与l不相交,但延长后交于一点的线段绕l旋转一周得圆台侧面;与l相交的线段绕l旋转一周得圆锥侧面.

    【变式训练1】 下列图形(④中轴两边的图形全等)绕给出的轴旋转一周形成的曲面所围成的几何体为圆台的是_______.(只填序号) 

    1557903920213848.png

  • 题型二、有关旋转体的计算问题

    【例2】 如图,用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥,截得的圆台上、下底面的面积之比为1∶16,截去的圆锥的母线长是3 cm,求圆台O'O的母线长.

    1557903945971807.png

    反思

    用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体,注意抓住截面的性质(与底面全等或相似),并结合旋转体中的经过旋转轴的截面(轴截面)的性质,利用相似三角形中的相似比,构造相关几何变量的方程组而得解.

    【变式训练2】 已知一个圆柱的轴截面是一个正方形,且此正方形的面积是S,则此圆柱的底面半径为______.

  • 题型三、易错辨析

    易错点:对几何体的概念和特征把握不准而致错

    【例3】 下列说法:

    ①圆台上底面的面积与下底面的面积之比一定不等于1;

    ②矩形绕任意一条直线旋转都可以形成圆柱;

    ③圆锥的母线长一定大于圆锥底面圆的直径;

    ④圆台的上、下底面不一定平行,但过圆台侧面上每一点的母线长都相等.

    其中正确的序号为_________. 

    反思

    1.判断简单旋转体结构特征的方法

    (1)明确旋转体是由哪个平面图形旋转而成的.

    (2)明确旋转轴是哪条直线.

    2.简单旋转体的轴截面及其应用

    (1)简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量.

    (2)在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想.

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