1.3.2 球的体积和表面积

时间:2019-9-9 19:05:01   作者:数学名师王老师
1.了解球的体积和表面积的计算公式.
2.会用球的体积和表面积公式解决实际问题.
知识点
  • 1.球的体积

    如果球的半径为R,那么它的体积$V=\frac{4}{3} \pi R 3$

    【做一做1】 半径为3的球的体积是(  )

    A.9π   B.81π   C.27π   D.36π

  • 2.球的表面积

    如果球的半径为R,那么它的表面积$S=4 \pi R^{2}$.

    【做一做2】 半径为$\sqrt{5}$的球的表面积等于_______。

重难点
  • 与球有关的组合体问题的解题策略

    剖析:可通过画过球心的截面来分析.例如,底面半径为r,高为h的圆锥内部有一球O,且球与圆锥的底面和侧面均相切.

    1557905850121856.png

    如图,过球心O和圆锥的顶点A作圆锥的截面,则球心是等腰三角形ABC的内接圆的圆心,AB和AC均是圆锥的母线,BC是圆锥的底面直径,D是圆锥底面的圆心.


    用同样的方法可得出以下结论:

    (1)若长方体的8个顶点在同一个球面上,则长方体的体对角线是球的直径;

    若球与正方体的六个面均相切,则球的直径等于正方体的棱长;

    若球与正方体的12条棱均相切,则球的直径是正方体的面对角线.

    (2)若球与圆柱的底面和侧面均相切,则球的直径等于圆柱的高,也等于圆柱底面圆的直径.

    (3)若球与圆台的底面和侧面均相切,则球的直径等于圆台的高.

例题解析
  • 【例1】

    (1)已知球的表面积为64$\pi$,求它的体积;

    (2)已知球的体积为$\frac{500 \pi}{3}$,求它的表面积。

    反思

    确定一个球的条件是球心的位置和球的半径,已知球的半径可以利用公式求它的表面积和体积;反过来,已知球的体积或表面积也可以求其半径.

    【变式训练1】 已知某球体积的大小等于其表面积的大小,则该球的半径是(  )

    A. $\sqrt{3}$     B. 3     C. 4     D.5

  • 题型二、与球有关的组合体问题

    【例2】 若棱长为3的正方体的顶点都在同一个球面上,则该球的表面积为_______.

    【变式训练2】 若一个球与棱长为2的正方体的各个面相切,则该球的体积为_______. 

  • 题型三、与三视图有关的球的体积与表面积

    【例3】 某几何体的三视图如图所示,则其表面积为________. 

    1557905877773818.png

    反思

    1.由三视图计算球或球与其他几何体的组合体的表面积或体积,最重要的是还原组合体,并弄清组合体的结构特征和三视图中数据的含义.此时要特别注意球的三种视图都是直径相同的圆.

    2.计算球或与球有关的组合体的表面积与体积时要恰当地分割与拼接,避免重叠和交叉.

    【变式训练3】 如图是某几何体的三视图,则该几何体的体积为______.

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3.4 不等式的实际应用

1.能把现实世界和日常生活中的不等关系转化为不等式问题,能运用不等式的知识和方法解决常见的实际问题(如比较大小,确定范围,求最值等). 2.了解如何建立数学模型,体会数学知识和客观实践之间的相互关系,培养良好的数学意识和情感态度.