1.1.1.1 棱柱、棱锥、棱台的结构特征

时间:2019-9-9 19:05:01   作者:数学名师王老师
1.知道空间几何体的概念及其含义,了解空间几何体的分类及其相关概念.
2.了解棱柱、棱锥、棱台的定义,知道这三种几何体的结构特征,能够识别和区分这些几何体.
知识点
  • 1.空间几何体的定义

    空间中的物体都占据着空间的一部分,如果只考虑这些物体的形状和大小,而不考虑其他因素,那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体.

  • 2.空间几何体的分类

    类别

    多面体

    旋转体

    定义

    由若干个平面多边形围成的几何体

    由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体

    图形

     1557903149104612.png

     1557903183723283.png

     

    面:围成多面体的各个多边形;

    棱:相邻两个面的公共边;

    顶点:棱与棱的公共点

    轴:形成旋转体时所绕的定直线

    名师点拨

    对多面体的理解,应注意以下几个方面:

    (1)多面体是由平面多边形围成的,不是由圆面或其他曲面围成的,也不是由空间多边形围成的.

    (2)本章所说的多边形,一般包括它内部的平面部分,故多面体是一个“封闭”的几何体.

    (3)围成一个多面体至少需要四个面.

    (4) 如果一个多面体是由几个面围成的,那么这个多面体就称为几面体.

    【做一做1】 下列物体不能抽象成旋转体的是(  )

    A.篮球      B.日光灯管 

    C.电线杆  D.金字塔

  • 3.棱柱

    定义

    一般地,有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的多面体叫做棱柱

    有关概念

    棱柱中, 这两个互相平行的面叫做棱柱的底面,简称底;其余各面叫做棱柱的侧面;相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱;侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点

    图形

    1557903223961339.png

    表示法

    用表示底面各顶点的字母表示棱柱,如上图中的棱柱可表示为棱柱 $A B C D E-A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime} E^{\prime}$

    分类

    按底面多边形的边数分为三棱柱、四棱柱、五棱柱……

    【做一做2】 下列说法正确的是(  )

    A.所有的棱柱都有一个底面

    B.棱柱的顶点至少有6个

    C.棱柱的侧棱至少有4条

    D.棱柱的棱至少有4条

  • 4.棱锥

    定义

    一般地,有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的多面体叫做棱锥

    有关概念

    多边形面叫做棱锥的底面或底;有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面;各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点;相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱


    图形

    1557903254422457.png

    表示法

    用表示顶点和底面各顶点的字母表示,如上图中的棱锥可表示为棱锥S-ABCD

    分类

    按底面多边形的边数分为三棱锥、四棱锥、五棱锥……其中三棱锥又叫四面体

    【做一做3】 下列棱锥有6个面的是(  )

    A.三棱锥  B.四棱锥 

    C.五棱锥  D.六棱锥

  • 5.棱台

    定义

    用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面与截面之间的部分叫做棱台

    有关概念

    原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面上底面;其他各面叫做棱台的侧面;相邻侧面的公共边叫做棱台的侧棱;底面与侧面的公共顶点叫做棱台的顶点

    图形

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    表示法

    用表示底面各顶点的字母表示棱台,如上图中的棱台可表示为棱台ABCD-A'B'C'D'

    分类

    按底面多边形的边数分为三棱台、四棱台、五棱台……

    归纳总结

    1.棱台的侧棱延长后交于一点,侧面是梯形.

    2.在棱台中,两个底面与平行于底面的截面是相似多边形,如图①所示.

    1557903508129135.png

    3.在棱台中,过不相邻的两条侧棱的截面是梯形,如图②所示.

    【做一做4】 下列四个几何体是棱台的为(  )

    1557903552350528.png

重难点
  • 1.识别棱柱

    剖析:判断一个几何体是不是棱柱,关键是要紧扣棱柱的三个本质特征:

    (1)有两个面互相平行;

    (2)其余各面是平行四边形;

    (3)在这些平行四边形中,每相邻两个面的公共边都互相平行.

    这三个特征缺一不可,如图所示的几何体有两个面互相平行,其余各面都是平行四边形,但不具备特征(3),故不是棱柱.

    1557903582460722.png

  • 2.识别棱锥

    剖析:将图①所示的正方体ABCD-A1B1C1D1截去两个三棱锥A-A1B1D1和C1-B1CD1,得如图②所示的几何体.

    1557903623198526.png

    图②所示的几何体有一个面ABCD是四边形,其余各面都是三角形,很明显这个几何体不是棱锥.因此,有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体不一定是棱锥.


    由此看出,判断一个几何体是不是棱锥,关键是要紧扣棱锥的三个本质特征:

    (1)有一个面是多边形;(2)其余各面是三角形;(3)这些三角形有一个公共顶点.这三个特征缺一不可.

  • 3.棱柱、棱锥、棱台的结构特征比较

    剖析:如下表所示.

  • 结构特征

    棱柱

    棱锥

    棱台

    底面

    两个底面是全等的多边形

    只有一个底面,且底面是多边形

    两个底面是相似的多边形

    侧面

    平行四边形

    三角形

    梯形

    侧棱

    平行且相等

    相交于同一点

    延长线交于同一点

    平行于底面的截面

    与两个底面是全等的多边形

    与底面是相似的多边形

    与两个底面是相似的多边形

    过不相邻两侧棱的截面

    平行四边形

    三角形

    梯形

例题解析
  • 题型一、棱柱、棱锥、棱台的结构特征

    【例1】 下列说法不正确的是_________.(只填序号) 

    ①棱台的侧面一定不会是平行四边形;

    ②一个底面是正方形的棱锥的侧棱长相等;

    ③棱柱的底面一定是平行四边形;

    ④棱柱中两个互相平行的面一定是棱柱的底面.

    反思棱柱、棱锥、棱台的定义是识别和区分多面体结构特征的关键.因此,在涉及多面体的结构特征问题时,先看是否满足定义,再看它们是否具备各自的性质.

    【变式训练1】 下列说法正确的有(  )

    ①一个棱柱至少有五个面;②用一个平面去截棱锥,底面和截面之间的部分叫棱台;③棱台的侧面是等腰梯形;④各个面都是三角形的几何体是三棱锥.

    A.1个  B.2个  C.3个  D.4个

  • 题型二、对多面体的识别和判断

    【例2】 根据下列关于多面体结构特征的描述,说出多面体的名称:

    (1)由6个平行四边形围成的几何体;

    (2)由7个面围成,其中一个面是六边形,其余6个面都是有一个公共顶点的三角形.

    反思
    根据多面体的特征描述识别和判断多面体时,要结合棱柱、棱锥、棱台的结构特征(侧面形状、底面形状、侧棱、底边等)来确定.注意判断时要充分发挥空间想象能力,必要时做出几何模型通过演示进行准确判断.

    【变式训练2】 如图,观察下面四个几何体,其中判断正确的是(  )

    1557903665360918.png

    A.①是棱台 

    B.②是棱台

    C.③是棱锥 

    D.④不是棱柱

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