1.2.3 空间几何体的直观图

时间:2019-9-9 19:05:01   作者:数学名师王老师
1.掌握斜二测画法的步骤.
2.会用斜二测画法画出一些简单平面图形和立体图形的直观图.
3.通过观察三视图和直观图,了解空间图形的不同表示形式及不同形式间的联系.
知识点
  • 1.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤

    (1)在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴,两轴相交于点O.画直观图时,把它们画成对应的$x^{\prime}$轴与$y^{\prime}$轴,两轴交于点$O^{\prime}$,且使$\angle x^{\prime} O^{\prime} y^{\prime}=45^{\circ}$(或135°),它们确定的平面表示水平面.

    (2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段,在直观图中分别画成平行于x'轴或y'轴的线段.

    (3)已知图形中平行于x轴的线段,在直观图中保持原长度不变,平行于y轴的线段,长度为原来的一半.

    名师点拨

    用斜二测画法画直观图,关键是掌握水平放置的平面图形的直观图的画法,而画水平放置的平面图形的关键是确定多边形的顶点.因为多边形顶点的位置一旦确定,依次连接这些顶点就可画出多边形.

    【做一做1】 利用斜二测画法画边长为3 cm的正方形的直观图,正确的是(  )

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  • 2.画空间几何体的直观图的步骤

    (1)在已知几何体中取水平平面,在水平平面内作互相垂直的轴$O x, O y$,再作$O z$轴,使$\angle x O{\mathcal{y}}=90^{\circ}, \angle x O{z}=90^{\circ}$.

    (2)画出与$O x, O y, O z$对应的轴$O^{\prime} x^{\prime}, O^{\prime} y^{\prime}, O^{\prime} z^{\prime}$,使$\angle x^{\prime} O^{\prime} y^{\prime}=45^{\circ}$(或135°),$\angle x^{\prime} O^{\prime} z^{\prime}=90^{\circ}, x^{\prime} O^{\prime} y^{\prime}$所确定的平面表示水平平面.

    (3)已知几何体中平行于x轴、y轴或z轴的线段,在直观图中分别画成平行于x'轴、y'轴或z'轴的线段,并使它们和所画坐标轴的位置关系与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同.

    (4)已知几何体中平行于x轴和z轴的线段,在直观图中保持原长度不变,平行于y轴的线段,长度为原来的一半.

    (5)擦除作为辅助线的坐标轴,就得到了已知空间几何体的直观图.

    名师点拨

    用斜二测画法画几何体的直观图时,与画水平放置的平面图形的直观图相比,只是多画一个与x轴、y轴都垂直的z轴,并且平行于z轴的线段的平行性和长度都不变.在直观图中,平面x'O'y'表示水平平面,平面y'O'z'和z'O'x'表示直立的平面.

    【做一做2】 在空间几何体中,平行于z轴的线段AB=10 cm,则在直观图中对应的线段A'B'=_____cm. 

重难点
  • 1.斜二测画法的作图技巧

    剖析:(1)在已知图形中建立直角坐标系,理论上是在任何位置建立直角坐标系都行,但在实际作图时,一般建立特殊的直角坐标系,尽量以原有直线为坐标轴,或以图形中互相垂直的直线为坐标轴,或以图形的对称中心为坐标原点等.

    (2)原图中与x轴或y轴或z轴平行的线段在直观图中依然与x'轴或y'轴或z'轴平行;原图中不与坐标轴平行的线段可以先画出线段的端点再连线,画端点时作坐标轴的平行线为辅助线;原图中的曲线段可以通过取一些关键点,利用上述方法作出直观图中的相应点后,用平滑的曲线连接而成.

  • 2.三视图与直观图的异同

    剖析:如下表所示.


    两种视图

    相同点与联系

    不同点

    三视图

    都是空间几何体的表现形式, 由一种形式可转化为另一种形式.

    从三个不同位置观察得出的是三视图,它能体现几何体各个部分的准确比例

    直观图

    从一个位置观察而得出的是直观图,它能直观地体现几何体的形状,但某些方向上的尺寸失真

例题解析
  • 题型一、画水平放置的平面图形的直观图

    【例1】 如图,在梯形ABCD中,$A B / / C D, A B=4 \mathrm{cm}, C D=2 \mathrm{cm}, $
    $ \angle D A B=30^{\circ}, A D=3 \mathrm{cm}$,试画出它的直观图.

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    反思

    在画水平放置的平面图形的直观图时,选取适当的直角坐标系是关键,一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上,便于画点;原图中的共线点,在直观图中仍是共线点;原图中的共点线,在直观图中仍是共点线;原图中的平行线,在直观图中仍是平行线.本例中,关键在于点D'的位置的确定.

    【变式训练1】 按图示的建系方法,画出水平放置的正五边形ABCDE的直观图.

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  • 题型二、画空间几何体的直观图

    【例2】 用斜二测画法画出底面为正方形的四棱台的直观图,其中上、下底面边长分别为2,3,高为2.

    【变式训练2】 用斜二测画法画出棱长为2 cm的正方体ABCD-A'B'C'D'的直观图.

  • 题型三、由三视图画直观图

    【例3】 某几何体的三视图如图所示,用斜二测画法画出它的直观图.

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    反思

    由三视图画几何体的直观图,首先要认清几何体的形状与大小,这是解决此类问题的关键;然后按斜二测画法的规则及其步骤画出其直观图.

    【变式训练3】 某几何体的三视图如图所示,用斜二测画法画出它的直观图.

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  • 题型四、直观图的还原

    【例4】 如图,一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°,腰和上底长均为1的等腰梯形,则这个平面图形的面积是(  )

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    A.$\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}$      B.$1+\frac{\sqrt{2}}{2}$

    C.$1+\sqrt{2}$                D.$2+\sqrt{2}$

    反思
    由直观图还原原图是画直观图的逆过程,有两个量发生了变化,一是$\angle x^{\prime} O^{\prime} y^{\prime}$由45°恢复为$\angle x O y=90^{\circ}$;二是与$O^{\prime} y^{\prime}$平行的线段,在平面$x O y$中的长度是直观图中的2倍.

    【变式训练4】 在如图所示的直观图中,四边形O'A'B'C'为菱形且边长为2 cm,则在平面直角坐标系xOy中原四边形OABC为_______(填形状),面积为________$\mathrm{cm}^{2}$. 

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