1.1.3.1 集合的基本运算 并集和交集

时间:2019-9-9 19:05:01   作者:数学名师王老师
1.理解两个集合的并集和交集的含义,明确数学中的“或”“且”的含义.
2.知道符号“∪”与“∩”的区别,能借助Venn图或数轴求两个集合的交集和并集.
3.能够利用交集、并集的性质解决有关问题.
知识点
  • 1.并集和交集的定义

    定义

    并集

    交集

    自然

    语言

    一般地,由所有属于集合A集合B的元素组成的集合,称为集合AB的并集,记作AB

    一般地,由属于集合A属于集合B的所有元素组成的集合,称为集合AB的交集,记作AB

    符号

    语言

    AB={x|xA,或xB}

    AB={x|xA,且xB}

    图形

    语言

    名师点拨1.简单地说,集合A和集合B的全部(公共)元素组成的集合就是集合A与B的并(交)集;

    2.当集合A,B无公共元素时,它们的交集是空集;

    3.在两个集合的并集中,属于集合A且属于集合B的元素只出现一次;

    4.交集与并集的相同点是:由两个集合确定一个新的集合;不同点是:生成新集合的法则不同.

    【做一做1-1】 设集合M={1,2},N={2,3},则M∪N等于(  )

    A.{1,2,2,3}  B.{2} 

    C.{1,2,3}  D.{1,3}

    【做一做1-2】 设集合P={-1,0,1},Q={-2,1,4},则P∩Q等于(  )

    A.{1}  B.{-2,-1,0,1,4}

    C.{4}  D.{0,1}

  • 2.并集和交集的性质

     

    并集

    交集

    简单

    性质

    AA=A;

    A∪?=A

    AA=A;

    A∩?=?

    常用

    结论

    AB=BA;

    A?(AB);

    B?(AB);

    AB=B?A?B

    AB=BA;

    (AB)?A;

    (AB)?B;

    AB=B?B?A

    【做一做2】 设集合A={7,a},B={-1},若A∩B=B,则a=___.

重难点
  • 1.数学中的“且”与“或”的含义

    剖析:(1)数学中的“且”与生活用语中的“且”的含义相同,均表示“同时”的含义,即“x∈A,且x∈B”表示元素x属于集合A同时属于集合B;(2)数学中的“或”与生活用语中的“或”的含义不同,生活用语中的“或”是指“或此”与“或彼”只取其中之一,并不兼存;而数学中的“或”是指“或此”“或彼”“或此彼”,可兼有.“x∈A或x∈B”包含三种情况:①x∈A,但x?B;②x∈B,但x?A;③x∈A,且x∈B.而生活中“小张或小李去办公室把作业本拿来”只包含两种情况:①“小张去,而小李不去”;②“小李去,而小张不去”,即仅其中一人去.
  • 2.符号“∪”与“∩”的区别

    剖析:(1)“∪”是并集符号,M∪N表示集合M与N的并集,即集合M与N的全部元素组成的集合;“∩”是交集符号,M∩N表示集合M与N的交集,即集合M与N的公共元素组成的集合.(2)“∪”是并集,其结果中的元素不少于每个集合中的元素.而“∩”是交集,其结果中的元素不多于每个集合中的元素.
  • 3.用数轴表示数集

    剖析:如果一个集合中的元素全部是实数,那么这个集合称为数集,可以用数轴表示部分数集,如下表所示:

    集合

    数轴表示

    {x|a < x < b}

    {x|axb}

    {x|ax < b}

    {x|a < xb}

    {x|x>a}

    {x|xa}

    {x|x < b}

    {x|xb}

    归纳总结
    1.数轴上方的“线”下面的实数就是集合中的元素;

    2.当端点不在集合中时,该实数用“空心圆圈”表示;

    3.如果在同一条数轴上表示两个数集,那么在数轴上对应它们的竖线(垂直于数轴)高度要有所不同,否则容易混淆.例如,在同一条数轴上表示集合{x|x>2}和{x|1 < x < 3},应画成如图甲所示,比较恰当;若画成如图乙那样,则不易区分这两个集合.

例题解析
  • 题型一、两个集合的并集运算

    【例1】 设集合A={x|x+1>0},B={x|-2< x< 2},求A∪B.

    【变式训练1】 满足A∪{-1,1}={-1,0,1}的集合A共有(  )

    A.2个  B.4个  C.8个  D.16个

  • 题型二、两个集合的交集运算

    【例2】 设集合$A=\left\{x | x^{2}-7 x+6=0\right\}$,$B=\{x | 4< x< 9, x \in \mathbf{N}\}$,求$A\cap B$.

    【变式训练2】 设集合A={x|-1≤x≤2},B={x|0≤x≤4},则A∩B等于(  )

    A.{x|0≤x≤2}  B.{x|1≤x≤2}

    C.{x|0≤x≤4}  D.{x|1≤x≤4}

  • 题型三、交集、并集性质的应用

    【例3】 设集合A={-2},B={x|ax+1=0},若A∩B=B,求实数a的值.

    【变式训练3】 已知集合A={x|0≤x≤3},B={x|x>m},若A∪B=B,则实数m的取值范围是(  )

    A.m≤0  B.m < 0 

    C.m≤3  D.0 < m < 3

  • 题型四、易混易错题

    易错点 $A \cap  B=\varnothing $的含义

    【例4】已知集合$A=\left\{x | x^{2}+2 x+2-p=0\right\}$,$B=\{x | x>0\}$,且$A \cap B=\varnothing$,求实数p满足的条件.

    【变式训练4】 已知集合$A=\{x |-1< x < 2\}$,$B=\{x | 2 a< x< a+2\}$,且(A∩B)??,求实数a的取值范围.

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