1.1.2 集合的表示方法

时间:2019-9-9 19:05:01   作者:数学名师王老师
1.掌握两个集合之间的包含关系和相等关系,并能正确地判断.
2.了解Venn图的含义,会用Venn图表示两个集合间的关系.
3.了解空集的含义及其性质.
知识点
  • 1.Venn图

    (1)定义:在数学中,经常用平面上封闭曲线的内部代表集合,这种图称为Venn图,这种表示集合的方法叫做图示法.

    (2)适用范围:元素个数较少的集合.

    (3)使用方法:把元素写在封闭曲线的内部.

    名师点拨常把封闭曲线画成椭圆或矩形等图形.

    【做一做1】 如图所示的Venn图表示的集合为(  )


    A.{-1,9,13}  B.{x=-1,9,13}

    C.-1,9,13  D.(-1,9,13)

    答案:A

  • 2.子集

    (1)定义:一般地,对于两个集合A,B,如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素,我们就说这两个集合有包含关系,称集合A为集合B的子集,记作A?B(或B?A),读作“A含于B”(或“B包含A”).
    名师点拨

    如果对任意x∈A,有x∈B,那么A?B.若存在x∈A,但x?B,则称A不是B的子集,记作A?B.

    (2)图示:当A?B时,用Venn图表示,如图①或图②所示.

    (3)性质:任何一个集合是它本身的子集,即A?A;对于集合A,B,C,如果A?B,且B?C,那么A?C.

    【做一做2】 已知集合A={-4,-1,m},集合B={-4,5},若B?A,则实数m=______.

    解析:∵B?A,5∈B,  ∴5∈A.  ∴m=5.

  •  3.集合相等与真子集

     

    定义

    记法

    图示

    集合

    相等

    如果集合A是集合B子集,且集合B是集合A子集,那么称集合A与集合B相等

    A=B

    真子

    如果集合A?B,但存在元素xB,且x?A,我们就称集合A是集合B的真子集

    A?B

    (或B?A)

    归纳总结
    1.对于集合A,B,C,若A?B,B?C,则A?C;任何集合都不是它本身的真子集.

    2.若A?B,且A≠B,则A?B.

    【做一做3-1】 已知M={1,2,3,4,5},N={1,4},则 (  )

    A.M>N  B.N?M 

    C.N∈M  D.M=N

    答案:B

    【做一做3-2】 下列集合与集合{$x|x^{2}-x=0$}相等的是(  )

    A.{0}    B.{1} 

    C.{0,1}  D.{1,2}

    解析:集合 {$x|x ^ {2}-x=0 $}是方程}$ x ^ {2}-x=0 $}的解集,解方程{$ x^ {2}-x=0 $},得x=0或x=1,则{$ {x|x^ {2}-x=0}={0,1} $.}

    答案:C

  • 4.空集

    (1)定义:我们把不含任何元素的集合叫做空集,记为?.

    (2)规定:空集是任何集合的子集,即??A.

    名师点拨     空集是任何非空集合的真子集,即??A(A≠?).

    【做一做4-1】 集合M={$x∈R|2x^{2}+3=0$}中元素的个数是(  )

    A.不确定  B.2 

    C.1  D.0

    解析:由于方程$2x^{2}+3=0$无实数根,则M=?.

    【做一做4-2】 有下列命题:①空集没有子集;②任一集合至少有两个子集;③空集是任何集合的真子集;④若??A,则A≠?.其中正确的个数为(  )

    A.0  B.1  C.2  D.3

    解析:对于①,空集是任何集合的子集,故???,①错;对于②,?只有一个子集,是其自身,②错;对于③,空集不是空集的真子集,③错;空集是任何非空集合的真子集,④正确.

重难点
  • 1.对空集的理解

    中没有元素.也就是说,确实存在没有任何元素的集合,那么如何刻画没有元素的集合呢?为此引进了空集的概念,把不含任何元素的集合叫做空集,并记为?.对于上述方程和不等式,我们不能说它们没有解集,而应该说它们的解集是?.空集不含任何元素,它是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.空集的概念是一个规定.

    注:(1)?是不含任何元素的集合;

    (2){0}是含有一个元素的集合,??{0};

    (3)0∈{0},0??.

  • 2.符号“∈”和“?”的区别

    剖析:符号“∈”只适用于元素与集合之间,其左边只能写元素,右边只能写集合,说明左边的元素属于右边的集合,表示元素与集合之间的关系,如-1∈Z ,       ∈R;符号“?”只适用于集合与集合之间,其左右两边都必须写集合,说明左边的集合是右边集合的子集,左边集合的元素均属于右边的集合,如{1}?{1,0},{x|x < 2}?{x|x < 3}.
例题解析
  • 题型一、求集合的子集个数

    【例1】 已知集合M满足{2,3}?M?{1,2,3,4,5},求集合M及其个数.

    分析:由{2,3}?M知,M中至少含有元素2,3,且必须含有元素2,3;由M?{1,2,3,4,5}知,M中至多含有元素1,2,3,4,5.按M中所含元素的个数分类写出集合M.

  • 反思1.正确区分子集、真子集以及非空真子集等概念,先看清题目的要求,再求解.

    2.写出集合的子集时,一般可以按照集合的元素个数进行分类,再依次找出每类中符合要求的集合.

    3.解决这类问题时,还要注意两个比较特殊的集合,即?和集合本身.

    4.含有 n ( n≥1 ,且n∈N ) 个元素的集合有2n个子集,(2n-1)个真子集,(2n-2)个非空真子集.

    【变式训练1】 已知集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|0 < x < 5,x∈N},则满足A?C?B的集合C的个数是 (  )

    A.1  B.2  C.3  D.4

  • 题型二、判断集合间的关系

    【例2】已知集合$M=\left \{ x|x^{2}+x-6=0 \right \}$,$N=\left \{ x|2x+7> 0 \right \}$,试判断集合M和N的关系。

    分析:先明确集合M和N中的元素,再依据有关的定义判断。

  • 反思判断两个集合间的关系时,主要是根据这两个集合中元素的特征,结合有关定义来判断.对于用列举法表示的集合,只需要观察其元素即可得它们之间的关系;对于用描述法表示的集合,要从所含元素的特征来分析,分析之前可以用列举法多取几个元素来估计它们之间可能有什么关系,然后再加以证明.当M?N和M?N均成立时,M?N较准确地表达了M和N之间的关系.

    【变式训练2】 已知集合A={x|-1 < x < 2},B={x|0 < x < 1},则(  )

    A.A>B  B.A?B 

    C.B?A  D.A?B

  • 题型三、已知两个集合间的关系,求参数的取值范围

    【例3】 已知集合A={x|-3≤x≤4},B={x|2m-1 < x < m+1},且B?A,B≠?,求实数m的取值范围.

  • 反思解决已知两个集合间的关系,求参数的范围问题时,通常要借助数轴;利用数轴分析法,将各个集合在数轴上表示出来,以形定数,还要注意验证端点值,做到准确无误.在用数轴表示集合时,含“=”的端点用实心点表示,不含“=”的端点用空心圆圈表示.

    【变式训练3】 已知集合A={x|x<-1,或x>4},B={x|2a≤x≤a+3},若B?A,求实数a的取值范围.

  • 题型四、集合相等关系的应用

    【例4】 设集合$A=\{x |-2< x \leqslant m-3\}$,
    $B=\{x | 3 n+4< x \leqslant 2\}$.若$A=B$,求实数$m,n$的值.

    【变式训练4】 设集合A={x,y},B={0,x2},若A=B,求实数x,y的值.

  • 题型五、易混易错题

    易错点:空集是任何集合的子集

    【例5】设集合$M=\left \{ x|x^{2} -5x-3=0 \right \}$,
    $N=\left \{ x|mx=1 \right \} $,若N?M,则m的取值集合为_____. 

    【变式训练5】 设集合$A=\left \{ x|x^{2}+4x=0 \right \}$,
    $B=\left \{ x|x^{2}+ 2(a+1)x+a^{2}-1=0 \right \}$,若B?A,求实数a的取值范围.

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