1.2.1 函数的概念

时间:2019-9-9 19:05:01   作者:数学名师王老师
1.能够用集合与对应的语言给出函数的定义;知道构成函数的要素,清楚函数的定义中“任意一个数x ”和“唯一确定的数f(x)”的含义;明确符号“f(x)”表示的意义.2.会判断两个函数是否相等;会求简单函数的函数值和定义域.3.能正确使用区间表示数集.
知识点
  • 1.函数的概念

    设A,B是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作y=f(x),x∈A.其中x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数y=f(x)的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数y=f(x)的值域,则值域是集合B的子集.

    名师点拨

    1.“A,B是非空的数集”,一方面强调了A,B只能是数集,即A,B中的元素只能是实数;另一方面指出了定义域、值域都不能是空集,也就是说,定义域为空集的函数是不存在的.

    2.函数定义中强调“三性”:任意性、存在性、唯一性,即对于非空数集A中的任意一个(任意性)元素x,在非空数集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的元素y与之对应.这三个性质只要有一个不满足便不能构成函数.

    3.理解函数的概念要注意,函数的定义域是非空数集A,但函数的值域不一定是非空数集B,而是集合B的子集.

    【做一做1】 下列对应或关系式中是从A到B的函数的是(  )

    A.$A \in \mathbf{R}, B \in \mathbf{R}, x^{2}+y^{2}=1$

    B.$A=\{1,2,3,4\}, B=\{0,1\}$,对应关系如图:

    image.png

    C.$A=\mathbf{R}, B=\mathbf{R}, f x \rightarrow y=\frac{1}{x-2}$

    D.$A=\mathbf{Z}, B=\mathbf{Z}_{2} f : x \rightarrow y=\sqrt{2 x-1}$

  • 2.常见函数的定义域和值域

    函数

    函数关系式

    定义域

    值域

    正比例函数

    $y=k x(k \neq 0)$

        

    R

    反比例函数

    $y=\frac{k}{x}(k \neq 0)$

    $\{x | x \neq 0\}$

    $\{y | y \neq 0\}$

    一次函数

    $y=k x+b$

    $(k \neq 0)$

    R

        

    二次函数

    $y=a x^{2}+b x+c$

    $(a \neq 0)$

    R

    a>0

    $\left\{y | y \geq \frac{4 a c-b^{2}}{4 a}\right\}$

    a<0

    $\left\{y | y \leq \frac{4 a c-b^{2}}{4 a}\right\}$

    归纳总结
    有时给出的函数没有明确说明其定义域,这时,它的定义域就是使函数表达式有意义的自变量的取值范围.例如函数$y=\sqrt{x}$,函数$y=\frac{1}{x+1}$的定义域为$(-\infty,-1) \cup(-1,+\infty)$。

    【做一做2-1】 已知函数y=f(x)的定义域为P,值域为Q,对于m∈P,与m对应的函数值为n,则有(  )

    A.$n \in P$      B.$m=n$     C.$n \in P \cap Q$     D.n唯一

    【做一做2-2】 函数y=5-2x的定义域是(  )

    A.R  B.Q    C.N  D.?

    【做一做2-3】 函数$y=2 x^{2}-x$的值域是________. 

  • 3.区间与无穷大

    (1)区间的概念.

    设a,b是两个实数,且a < b.

  • $\{x | a < x < b\}$$\{x | a \leqslant x < b\}$

    定义

    名称

    符号

    数轴表示

    $\{x | a \leqslant x \leqslant b\}$

    闭区间

    [a,b]

    1557894065920228.png

    $\{x | a < x < b\}$

    开区间

    (a,b)1557894103125683.png

    $\{x | a \leqslant x < b\}$

    半闭半开区间

    [a,b)1557894134321187.png

    $\{x | a < x \leqslant b\}$

    半开半闭区间

    (a,b]

    1557894160860536.png

  • 这里的实数a与b都叫做相应区间的端点.

    知识拓展

    1.区间符号里面的两个字母(或数字)之间用“,”隔开;

    2.区间表示实数集的几条原则:连续的数集,左端点必须小于右端点,开或闭不能混淆;

    3.用数轴表示区间时,要特别注意实心点与空心圆圈的区别;

    4.由于区间是表示数集的一种形式,因此对于集合的运算仍然成立.

    (2)无穷大.

    “∞”读作“无穷大”,“-∞”读作“负无穷大”,“+∞”读作“正无穷大”,满足x≥a,x>a,x≤a,x < a的实数x的集合可用区间表示,如下表.

    定义

    R

    $\{x | x \geqslant a\}$

    $\{x | x>a\}$

    $\{x | x \leqslant a\}$

    $\{x | x< a\}$

    符号

    $(-\infty,+\infty)$

    $[a,+\infty)$

    $(a,+\infty)$

    $(-\infty, a]$

    $(-\infty, a)$

    【做一做3-1】 集合{x|x≥1}用区间表示为(  )

    A.(-∞,1)  B.(-∞,1]

    C.(1,+∞)  D.[1,+∞)

    【做一做3-2】 区间[5,8)表示的集合是(  )

    A.{x|x≤5,或x>8}  B.{x|5 < x≤8}

    C.{x|5≤x < 8}  D.{x|5≤x≤8}

    名师点拨
    1.∞是一个符号,而不是一个数;

    2.以“-∞”或“+∞”为区间的一端时,这一端必须用小括号.

  • 4.函数相等

    一个函数的构成要素为:定义域、对应关系和值域,其中值域是由定义域和对应关系决定的.如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,我们就称这两个函数相等.

    【做一做4】 函数y=x-5与s=t-5是否相等?
重难点
  • 函数符号$f( x )$的意义

    剖析:
    (1)符号$y=f( x )$表示变量y是变量x的函数,它仅仅是函数符号,并不表示y等于f与x的乘积.

    (2)符号$f( x )$与$f( m )$既有区别又有联系,当m是变量时,函数$f( x )$与函数$f( m )$相等;当m是常数时,$f( m )$表示当自变量$x=m$时对应的函数值,是一个常量.

    (3)符号f可以看作是对“x”施加的某种法则或运算.

    例如$f(x)=x^{2}-x+5$,当x=2时,看作对“2”施加了这样的运算法则:先平方,再减去2,最后加上5;当x为某一代数式(或某一个函数)时,则左右两边的所有x都用同一个代数式(或某一个函数)来代替.如:$f(2 x+1)=(2 x+1)^{2}-(2 x+1)+5$,$f(g(x))=[g(x)]^{2}-g(x)+5$.

例题解析
  • 题型一、函数关系的判断

    【例1】 下列式子能否确定y是x的函数?

    (1)$\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}=1$;

    (2)$y=\sqrt{x-2}+\sqrt{1-x}$。

    分析:先将已知式子进行等价转换,化为用x表示y的形式,再利用函数的定义进行判断.

    反思
    1.判断一个对应关系f:A→B是不是函数,要从以下三个方面去判断:(1)A,B必须是非空数集;(2)A中的任何一个元素在B中必须有元素与其对应;(3)A中任一元素在B中必有唯一元素与其对应.

    2.函数的定义中“任意一个数x”与“唯一确定的数f(x)”说明函数中两个变量x,y的对应关系是“一对一”或者是“多对一”,而不能是“一对多 ”.

    【变式训练1】 设集合M={x|0≤x≤2},N={y|0≤y≤2},给出下列四个图形:

    1557894240462704.png

    其中,能表示从集合M到集合N的函数关系的个数是 (  )

    A.0  B.1  C.2  D.3

  • 题型二、求函数值

    【例2】已知$f(x)=\frac{1}{1+x}$($x \in \mathbf{R}$,且$x \neq-1$),$g(x)=x^{2}+2(x \in \mathbf{R})$

    (1)求$f(2)$,$g(2)$的值;

    (2)求$f(g(3))$的值.

    反思
    已知$f(x)$的表达式时,只需用a替换表达式中的x即得$f(a)$的值;已知$g(x)$的表达式时,先求$g(a)$的值$m$,再求$f(m)$的值即得$f(g(a))$的值,即遵循由里往外的原则求$f(g(a))$.

    【变式训练2】 (1)已知$f(x)=2 x+1$,$g(x)=x^{2}+1$,若$f(2 a+1)=7$,则$f(g(a))=$_____; 

    (2)函数y=x+1,x∈{1,2,3,4}的值域为_____. 

  • 题型三、求函数的定义域

    【例3】 求函数$y=\frac{-2}{x+1}-\sqrt{1-x}$的定义域。

    反思
    1.如果$f(x)$是整式,那么函数的定义域是实数集R.

    2.如果f(x)是分式,那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合.

    3.如果$f(x)$是二次根式,那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合.

    4.如果$f(x)$是由几个部分构成的,那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合(即求各部分自变量取值集合的交集).

    5.对于由实际背景确定的函数,其定义域还要受实际问题的制约.

    【变式训练3】求下列函数的定义域

    (1)$y=\frac{3}{1-\sqrt{1-x}}$

    (2)$y=\frac{(x+1)^{0}}{|x|-x}$

  • 题型4、判断函数相等

    【例4】 判断下列各组函数是不是相等函数:

    (1)$f(x)=x+2$,$g(x)=\frac{x^{2}-4}{x-2}$

    (2)$f(x)=(x-1)^{2}$,$g(x)=x-1$;

    (3)$f(x)=x^{2}+x+1$,$g(t)=t^{2}+t+1$.

    反思
    判断两个函数$f(x)$和$g(x)$是否相等的方法是:先求函数$f(x)$和$g(x)$的定义域,如果定义域不同,那么它们不相等,如果定义域相同,再化简函数的表达式,如果化简后的函数表达式相同,那么它们相等,否则它们不相等.

    【变式训练4】 试判断以下各组函数是否表示同一函数:

    (1)$f(x)=\sqrt{x^{2}}, g(x)=\sqrt[3]{x^{3}}$

    (2)$f(x)=(\sqrt{\mathrm{x}})^{2}, g(x)=\sqrt{\mathrm{x}^{2}}$

    (3)$y=x^{0}, y=1(x \neq 0)$;

    (4)$y=\frac{\mathrm{x}^{2}+\mathrm{x}}{\mathrm{x}}, y=x+1$.

  • 题型五、易混易错题

    易错点 求函数的定义域时,先化简函数的关系式

    【例5】 求函数$y=\frac{(x-2)(x+1)}{(x-2)(x+3)}$的定义域

    【变式训练5】 已知下列说法:

    ①函数$y=\frac{x^{2}}{x}$相等;②函数$y=\frac{x^{2}-4}{x+2}$的定义域为R;③函数$y=\sqrt{x^{2}}-x$的值域为0.其中正确的个数为(  )

    A.0               B.1                C.2             D.3

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