1.3.1.1 函数的单调性

时间:2019-9-9 19:05:01   作者:数学名师王老师
1.理解增函数和减函数的定义,明确定义中“任意”两字的重要性,以及图象的特征.2.知道函数单调性的含义,能够利用定义证明函数的单调性.3.能够利用定义或图象求函数的单调区间,能够利用函数的单调性解决有关问题.
知识点
  • 增函数和减函数

     

    增函数

    减函数

    定义

    一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1 < x2时,都有

    f(x1)<f(x2)

    f(x1)>f(x2)

    那么就说函数f(x)在区间D上是增函数.区间D称为函数f(x)的单调递增区间

    那么就说函数f(x)在区间D上是减函数.区间D称为函数f(x)的单调递减区间

    图象

    特征

    函数f(x)在区间D上的图象是上升

    函数f(x)在区间D上的图象是下降

    图示

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    名师点拨

    1.函数$f(x)$在区间D上是增函数,$x_{1}, x_{2} \in D$,且$x_{1} \neq x_{2} \Leftrightarrow\left(x_{1}-x_{2}\right)\left[f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)\right]>0  \\  \Leftrightarrow \frac{f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)}{x_{1}-x_{2}}>0$.

    2.函数$f(x)$在区间D上是减函数,$x_{1}, x_{2} \in D$,且$x_{1} \neq x_{2} \Leftrightarrow\left(x_{1}-x_{2}\right)\left[f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)\right] < 0 \\  \Leftrightarrow \frac{f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)}{x_{1}-x_{2}} < 0$.

    【做一做1-1】 已知函数$y=f(x)$在区间(a,b)内是减函数,$x_{1}, x_{2} \in(a, b)$,且$x_{1} < x_{2}$,则有(  )

    $\mathrm{A} . f\left(x_{1}\right) < f \left(x_{2}\right) \quad \mathrm{B} \cdot f\left(x_{1}\right) > f\left(x_{2}\right)$

    C.$f\left(x_{1}\right)=f\left(x_{2}\right)$  D.以上都有可能

    【做一做1-2】已知[0,3]是函数$f(x)$定义域内的一个区间,若$f(1) < f(2)$,则函数$f(x)$在区间[0,3]上(  )

    A.是增函数    B.是减函数

    C.不是增函数就是减函数  D.增减性不能确定

  • 2.单调性

    (1)定义:如果函数$y=f(x)$在区间D上是增函数或减函数,那么就说函数$y=f(x)$在区间D上具有(严格的)单调性,区间D叫做函数$y=f(x)$的单调区间.

    (2)图象特征:函数$y=f(x)$在区间D上具有单调性,则函数$y=f(x)$在区间D上的图象是上升的或下降的.

    归纳总结基本函数的单调区间如下表所示:

    函数

    条件

    单调递增区间

    单调递减区间

    正比例函数
    $(y=k x, k \neq 0)$
    与一次函数
    $(y=k x+b, k \neq 0)$

    k>0

    R

    k<0

    R

    反比例函数
    $\left(y=\frac{k}{x}, k \neq 0\right)$

    k>0

    $(-\infty, 0)$和$(0,+\infty)$

    k<0

    $(-\infty, 0)$和$(0,+\infty)$

    二次函数$\left(y=a x^{2}+b x+c, \\ a \neq 0\right)$

    a>0

    $\left[-\frac{b}{2 a},+\infty\right)$

    $\left(-\infty,-\frac{b}{2 a}\right]$

    a<0

    $\left(-\infty,-\frac{b}{2 a}\right]$

    $\left[-\frac{b}{2 a},+\infty\right)$

    【做一做2】 已知函数$f(x)$的图象如图所示,则(  )

    A.函数$f(x)$在[-1,2]上是增函数

    B.函数$f(x)$在[-1,2]上是减函数

    C.函数$f(x)$在[-1,4]上是减函数

    D.函数$f(x)$在[2,4]上是增函数

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重难点
  • 对函数单调性的理解

    剖析:函数单调性的定义是用数学符号来刻画函数的图象特征,它反映了函数图象的变化趋势(当自变量增大时,函数值是增大还是减小,图象是上升
    还是下降);函数$y=f(x)$在区间D上是增函数(减函数),等价于对于D中任意的两个自变量$x_{1}, x_{2}$,且$x_{1} < x_{2}$,都有$f\left(x_{1}\right) < f\left(x_{2}\right)\left(f\left(x_{1}\right) > f\left(x_{2}\right)\right)$;其中“任意”二字是关键,不能用具体的两个自变量代替,否则就会产生错误.比如函数$f(x)=\frac{1}{x}$,取$x_{1}=-1, x_{2}=1, f\left(x_{1}\right)=-1, f\left(x_{2}\right)=1$,
    $f\left(x_{1}\right)< f\left(x_{2}\right)$,如果由此推出$f(x)=\frac{1}{x}$是增函数就会产生错误,原因就在于$x_{1}, x_{2}$是定值,不具有任意性.

    函数的单调性是函数定义域内某个区间上的性质,因此它是一个“局部”的性质,并且在考查函数的单调性时,必须先看函数的定义域.如果一个函数有多个单调增(减)区间,这些增(减)区间应用逗号隔开(即“局部”),而不能用并集的符号连接(并完之后就成了“整体).例如$f(x)=\frac{1}{x}$的单调减区间可以写成$(-\infty, 0),(0,+\infty)$  (或者写成 $ ( - \infty, 0 ) $ 和 $ ( 0,+\infty ) $,但不能写成 ( $-\infty, 0$ )∪ ( $0,+\infty$ ).

    由于函数的单调性是反映函数图象变化趋势的,所以在某一点处没法讨论函数的单调性,比如函数$y=x^{2}$的单调增区间可以写成开区间$(0,+\infty)$,也可以写成$[0,+\infty)$,但是如果定义域中不包含这个点,则必须使用开区间表示.

例题解析
  • 题型一、证明函数的单调性

    【例1】 求证:函数$f(x)=x+\frac{1}{x}$在$(0,1)$内为减函数.

    反思
       证明函数单调性的常用方法是定义法,利用定义法判断函数单调性的步骤为:

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    【变式训练1】 用单调性的定义证明:函数$f(x)=2 x^{2}+4 x$在$(-\infty,-1]$上是减函数.

  • 题型二、利用图象确定函数的单调区间

    【例2】 已知函数$f(x)=-x^{2}+2|x|+3$.

    (1)用分段函数的形式表示$f(x)$;

    (2)画出$f(x)$的图象;

    (3)根据图象写出$f(x)$的单调区间.

    反思
    1.对于基本函$\left(y=k x+b(k \neq 0), y=a x^{2}+b x+c(a \neq 0), \\  y=\frac{k}{x}(k \neq 0)\right)$.

    2.对于含有绝对值的函数,往往转化成分段函数,画出其图象,借助图象的变化趋势分析函数的单调性(区间).

    【变式训练2】 已知函数$f(x)=\left\{\begin{array}{l}{(x-1)^{2}, x \geq 0} \\ {x+1, x < 0}\end{array}\right.$,则$f(x)$的单调增区间是_______,单调减区间是_______. 

  • 题型三、函数单调性的应用

    【例3】 已知函数$f(x)$的定义域为[-2,2],且$f(x)$在区间[-2,2]上是增函数,$f(1-m) < f(m)$,求实数m的取值范围.

    反思
       1.利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小.在解决比较函数值大小的问题时,要注意将对应的自变量转化到同一个单调区间上.需要注意的是,不要忘记函数的定义域.

    2.(1)若$f(x)$在区间D上是增函数,$x_{1}$,$x_{2}$是区间D内的任意两个实数,则$f\left(x_{1}\right)>f\left(x_{2}\right) \Leftrightarrow x_{1}>x_{2}$;  $ f\left(x_{1}\right) < f\left(x_{2}\right) \Leftrightarrow x_{1}< x_{2} $ .

    (2)若$f(x)$在区间D上是减函数,$x_{1}$,$x_{2}$是区间D内的任意两个实数,则$f\left(x_{1}\right)>f\left(x_{2}\right) \Leftrightarrow x_{1}< x_{2} ; \\ f\left(x_{1}\right)< f\left(x_{2}\right) \Leftrightarrow x_{1}>x_{2}$.

    【变式训练3】 已知函数$y=a x$和$y=-\frac{b}{x}$在$(0,+\infty)$内都是减函数,则函数$f(x)=b x+a$在R上是(  )

    A.减函数,且$f(0) < 0$    B.增函数,且$f(0) < 0$

    C.减函数,且$f(0)>0$    D.增函数,且$f(0)>0$

  • 题型四、易混易错题

    易错点 对“单调区间是……”和“在区间……上单调……”理解错误

    【例4】 已知函数$f(x)=x^{2}+2(a-1) x+2$.

    (1)若函数$f(x)$的单调递减区间是$(-\infty, 4]$,则实数a的值(或取值范围)是________; 

    (2)若函数$f(x)$在区间$(-\infty, 4]$上单调递减,则实数a的值(或取值范围)是________. 

    【变式训练4】 已知函数$f(x)=|x+a|$在区间 (-∞,1]上单调递减,则a的取值范围是(  )

    A.a≥1     B.0< a≤1     C.a≤-1     D.-1≤a < 0

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