1.1.3.2 补集

时间:2019-9-9 19:05:01   作者:数学名师王老师
1.理解全集、补集的含义,会求给定集合的补集.
2.能够解决交集、并集、补集的综合运算问题.
3.能借助Venn图,利用集合运算解决有关的实际应用问题.
知识点
  • 1、全集

    定义

    一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的

    所有元素,那么就称这个集合为全集

    记法

    通常记作U

    图示

    U

  • 2、补集

    文字语言

    对于一个集合A,由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集,简称为集合A的补集,记作$C_{u}A$

    符号语言

    $C_{u}A=\left \{ x|x\in U,x\notin A \right \}$

    图形语言

  • 归纳总结

    1.简单地说,?UA是从全集U中取出集合A的全部元素之后,所有剩余的元素组成的集合.

    2.性质:A∪(?UA)=U,A∩(?UA)=?,?U(?UA)=A,?UU=?,
    ?U?=U,?U(A∩B)=(?UA)∪(?UB),?U(A∪B)=(?UA)∩(?UB).

    3.如图所示的阴影部分是常用到的含有两个集合运算结果的Venn图表示.

    【做一做1】 设全集U={1,2,4,8},M={1,2},则?UM等于(  )

    A.{4}  B.{8}  C.{4,8}  D.?

    【做一做2】 设全集为U,M={0,2,4},?UM={6},则U等于(  )

    A.{0,2,4,6}  B.{0,2,4}

重难点
  • $C_{A}C$与$C_{B}C$不一定相等

    剖析:依据补集的含义,符号$C_{A}C$和$C_{B}C$都表示集合C的补集,但是$C_{A}C$表示集合C在全集A中的补集,而$C_{B}C$表示集合C在全集B中的补集;因为集合A和B不一定相等,所以$C_{A}C$与$C_{B}C$不一定相等.因此,求集合的补集时,首先要明确全集,否则容易出错.如集合A={1,2,3,4,5,6,7,8,9},B={0,1,2,3,4},C={1,3,4},
    则$C_{A}C$={2,5,6,7,8,9},$C_{B}C$={0,2},很明显$C_{A}C \neq  C_{B}C$.
例题解析
  • 题型一、简单的补集运算问题

    【例1】 已知全集U,集合$A=\{1,3,5,7\}, C_{U} A=\{2,4,6\}$,
    $ C_{U} B=\{1,4,6\}$,求集合B.

    反思
    根据补集的定义,借助Venn图,可直观地求出全集.此类问题,当集合中元素个数较少时,可借助Venn图求解;当集合中有无限个元素时,可借助数轴,利用数轴分析法求解.

    【变式训练1】 已知全集$U=\{x |-5 \leq x \leqslant 2\}$,集合$A=\{x | 0 \leqslant x < 1\}$,则$C_{U^{A}}=$_________。

  • 题型二、交集、并集、补集的综合运算

    【例2】 设全集为R,$A=\{x | 3 \leqslant x < 7\}$, $B=\{x | 2< x  < 10\}$,求$C_{\mathrm{R}}(A \cup B)$及$\left(C_{\mathbf{R}} A\right) \cap B$。

    【变式训练2】 已知全集$U=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$,集合$A=\{0,1,3,5,8\}$,集合$B=\{2,4,5,6,8\}$,则$\left(C_{U} A\right) \cap\left(C_{U} B\right)$等于(  )

    A.{5,8}  B.{7,9}  C.{0,1,3}  D.{2,4,6}

  • 题型三、有关集合的实际应用题

    【例3】 某班共有30人,其中15人喜爱篮球运动,10人喜爱乒乓球运动,8人对这两项运动都不喜爱,求喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数.

    【变式训练3】 某商店销售电视机和电脑两种电器,有15人进入该商店,有6人买了电视机,有5人买了电脑,其中有2人同时买了电视机和电脑,求这15人中没有在该商店消费的人数.

  • 题型四、由集合的补集关系求参数的值(范围)

    【例4】 设集合$A=\{x | x+m \geqslant 0\}$, $B=\{x |-2< x < 4\}$,全集$U=\mathbf{R}$,且$\left(C_{U} A\right) \cap B=\varnothing$ ,求实数m的取值范围.
    【变式训练4】 若将例4中条件“$\left(C_{U^{A}}\right) \cap B=\varnothing$”改为“$\left(C_{U} B\right) \cup A=\mathbf{R}$”,其他条件不变,求m的取值范围.
  • 题型五、易混易错题

    易错点 求补集时易漏掉一些特殊元素

    【例5】 已知R为全集,$A=\{x |-1 \leq x < 3\}$,$B=\{x |-2 < x \leq 3\}$,求$\left(C_{\mathrm{R}} A\right) \cap B$。

    【变式训练5】 设全集$U=\left\{2,3, a^{2}+2 a-3\right\}, A=\{|2 a-1|, 2\}$,
    $ C_{U} A=\{5\}$,求实数a的值.

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