3.2.2 函数模型的应用实例

时间:2019-9-9 19:05:01   作者:数学名师王老师
1.会利用已知函数模型解决实际问题.  
2.能建立函数模型解决实际问题.
3.了解利用拟合函数模型解决实际问题.
知识点
  • 函数模型的应用

    (1)用已知的函数模型刻画实际问题;

    (2)建立恰当的函数模型,并利用所得函数模型解释有关现象,对某些发展趋势进行预测,其基本过程如图所示:

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    名师点拨

    巧记函数建模过程:

    收集数据,画图提出假设;

    依托图表,理顺数量关系;

    抓住关键,建立函数模型;

    精确计算,求解数学问题;

    回到实际,检验问题结果.

    【做一做1】 一辆汽车的行驶路程s关于时间t变化的图象如图所示,那么图象所对应的函数模型是(  )

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    A.一次函数模型    B.二次函数模型

    C.指数函数模型    D.对数函数模型

    【做一做2】 已知大气压强p(单位:百帕)与海拔高度h(单位:米)的关系式为$p=1000 \cdot\left(\frac{7}{100}\right)^{\frac{h}{3000}}$,则海拔6000米处的大气压强为_______百帕. 

重难点
  • 1.常用的函数模型

    剖析:在实际问题中,常用的函数模型如下表所示:


    函数模型

    解析式

    正比例函数模型

    $f(x)=k x$(k为常数,$k \neq 0$)

    反比例函数模型

    $f(x)=\frac{k}{x}$(k为常数,$k \neq 0$)

    一次函数模型

    $f(x)=k x+b$(k,b为常数,$k \neq 0$)

    二次函数模型

    $f(x)=a x^{2}+b x+c$(a,b,c为常数,$a \neq 0$)

    指数函数模型

    $f(x)=a \cdot b^{x}+c$(a,b,c为常数,$a \neq 0, b>0, b \neq 1$)

    对数函数模型

    $f(x)=m \log _{a} x+n$(m,n,a为常数,$m \neq 0, a>0, a \neq 1$)

    幂函数模型

    $f(x)=a \cdot x^{n}+b$(a,b,n为常数,$a \neq 0, n \neq 1$)

  • 2.在应用题中列出函数解析式的三种方法

    剖析:解答应用题的实质是要转化题意,寻找所给条件中含有的相等关系,用等式把变量联系起来,然后再整理成函数的解析式的形式.常用的方法有:

    (1)待定系数法:若题目给出了含参数的函数关系式,则可用待定系数法求出函数解析式中相关参数的值,从而得到确定的函数解析式.

    (2)归纳法:先让自变量x取一些特殊值,计算出相应的函数值,从中发现规律;再推广到一般情形,从而得到函数解析式.

    (3)方程法:用x,y表示自变量及其他相关的量,根据问题的实际意义,运用掌握的数学、物理等方面的知识,列出关于x,y的二元方程;把x看成常数,解方程得y(即函数关系式),此种方法形式上和列方程解应用题类似,故称为方程法.

例题解析
  • 题型一、已知函数模型的应用题

    【例1】 灌满开水的热水瓶放在室内,如果瓶内开水原来的温度是$\theta_{1}^{\circ} \mathrm{C}$,室内气温是$\theta_{0}^{\circ} \mathrm{C}$,t min后,开水的温度可由公式$\theta=\theta_{0}+\left(\theta_{1}-\theta_{0}\right) \mathrm{e}^{-k t}$求得,这里,k是一个与热水瓶类型有关的正的常量.现有一只某种类型的热水瓶,测得瓶内水温为100 ℃,过1 h后又测得瓶内水温变为$98^{\circ} \mathrm{C}$.已知某种奶粉必须用不低于85 ℃的开水冲调,现用这种类型的热水瓶在早上六点灌满$100^{\circ} \mathrm{C}$的开水,问:能否在这一天的中午十二点用这瓶开水来冲调上述奶粉(假定该地白天室温为20 ℃)?
    【变式训练1】 某种病毒经30 min繁殖为原来的2倍,且已知病毒的繁殖规律为$y=\mathrm{e}^{k t}$(其中k为常数,t表示时间,单位:h,y表示病毒个数),则k=________,经过5 h,1个病毒能繁殖为_______个. 
  • 题型二、建立函数模型的应用题

    【例2】 某投资公司投资甲、乙两个项目所获得的利润分别是M(单位:亿元)和N(单位:亿元),它们与投资额t(单位:亿元)的关系有经验公式:$M=\frac{1}{3} \sqrt{t}, N=\frac{1}{6} t$,今公司将用3亿元投资这两个项目,若设甲项目投资x亿元,投资这两个项目所获得的总利润为y亿元.

    (1)写出y关于x的函数表达式;

    (2)求总利润y的最大值.

    分析:(1)总利润=投资甲项目利润+投资乙项目利润=M+N;(2)转化为求(1)中函数的最大值.

    反思
    当实际应用题中没有给出函数模型时,其解题步骤是:

    第一步:认真读题,缜密审题,确切理解题意,明确问题的实际背景,找出题意中所蕴含的函数关系;

    第二步:恰当地设未知数,列出函数解析式,将实际问题转化成函数问题,即实际问题函数化;

    第三步:运用所学的数学知识和数学方法解答函数问题,得出函数问题的解;

    第四步:将所得函数问题的解还原成实际问题的结论,要注意检验所得的结论是否符合实际问题的意义.

    【变式训练2】 大西洋鲑鱼每年都要逆流而上,游回产地产卵.记鲑鱼的游速为v(单位:m/s),鲑鱼的耗氧量的单位数为Q,研究中发现v与$\log 3 \frac{Q}{100}$成正比,且当Q=900时,v=1.

    (1)求出v关于Q的函数解析式;

    (2)计算一条鲑鱼的游速是1.5 m/s时耗氧量的单位数;

    (3)一条鲑鱼要想把游速提高1 m/s,其耗氧量的单位数应怎样变化?

  • 题型三、拟合函数模型的应用题

    【例3】 为了估计山上积雪融化后对下游灌溉的影响,在山上建立了一个观察站,测量最大积雪深度x cm与当年灌溉面积$y  \mathrm{hm}^{2}$.现有连续10年的实测资料,如下表所示.

    年序

    最大积雪深度x/cm

    灌溉面积$y  \mathrm{hm}^{2}$

    1

    15.2

    28.6

    2

    10.4

    21.1

    3

    21.2

    40.5

    4

    18.6

    36.6

    5

    26.4

    49.8

    6

    23.4

    45.0

    7

    13.5

    29.2

    8

    16.7

    34.1

    9

    24.0

    45.8

    10

    19.1

    36.9

    (1)描点画出灌溉面积$y  \mathrm{hm}^{2}$随积雪深度xcm变化的图象;

    (2)建立一个能基本反映灌溉面积变化的函数模型y=f(x),并画出图象;

    (3)根据所建立的函数模型,若今年最大积雪深度为25 cm,请估计可以灌溉的土地面积是多少?

    反思
    对于此类的实际应用问题,关键是建立适当的函数关系式,再解决数学问题,最后验证并结合问题的实际意义作出回答.这个过程就是先拟合函数再利用函数解题.函数拟合与预测的一般步骤是:

    (1)根据原始数据,绘出散点图.

    (2)通过观察散点图,画出“最贴近”的直线或曲线,即拟合直线或拟合曲线.

    (3)根据所学的函数知识,求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式.

    (4)利用函数关系式,根据条件对所给的问题进行预测,为决策和管理提供依据.

    【变式训练3】 某企业常年生产一种出口产品,自2013年以来,每年在正常情况下,该产品产量平稳增长.已知2013年为第1年,前4年年产量f(x)(单位:万件)如下表所示:


    x

    1

    2

    3

    4

    f(x)

    4.00

    5.58

    7.00

    8.44

    (1)画出2013~2016年该企业年产量的散点图;

    (2)建立一个能基本反映(误差小于0.1)这一时期该企业年产量变化的函数模型,并求出函数解析式;

    (3)2017年(即x=5)因受到某种原因的影响,年产量减少30%,试根据所建立的函数模型,确定2017年的年产量为多少?

  • 题型四、易混易错题

    易错点 求函数最值时忽略了实际情况对函数定义域的限制

    【例4】 如图所示,在矩形ABCD中,已知AB=a,BC=b(b< a),在AB,AD,CD,CB上分别截取AE,AH,CG,CF,且AE=AH=CG=CF=x.

    问:当x为何值时,四边形EFGH的面积最大?并求出最大面积.

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    反思
    利用函数解决实际问题时,要遵循定义域优先的原则,即必须考虑到自变量的实际意义,否则会出现错解.

    【变式训练4】 渔场中鱼群的最大养殖量为m(m>0),为了保证鱼群的生长空间,实际养殖量x小于m,以便留出适当的空闲量.已知鱼群的年增长量y和实际养殖量与空闲率(空闲率是空闲量与最大养殖量的比值)的乘积成正比,比例系数为k(k>0).

    (1)写出y关于x的函数关系式,并指出该函数的定义域;

    (2)求鱼群年增长量的最大值.

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